Se operatorname{sen} x=\frac{1}{3} e \cos y=\frac{4}{5}, onde x e y existem entre 0 e \frac{\pi}{2}, Avalie a expressão.
\operatorname{sen}(x-y)

Passo 1

O enunciado dá \sin x = \tfrac{1}{3} e \cos y = \tfrac{4}{5} com x,y\in\bigl(0,\tfrac{\pi}{2}\bigr). Queremos calcular \sin(x-y). Para isso usaremos a fórmula do seno da diferença e o teorema de Pitágoras para encontrar \cos x e \sin y.

Passo 2

A identidade para a diferença de ângulos é
\sin(x - y) \;=\; \sin x\,\cos y \;-\; \cos x\,\sin y.

Passo 3

Como x está no primeiro quadrante, \cos x é positivo e
\cos x = \sqrt{1 - \sin^2 x} = \sqrt{1 - \Bigl(\tfrac{1}{3}\Bigr)^2} = \sqrt{\tfrac{8}{9}} = \tfrac{2\sqrt{2}}{3}.
De modo análogo, como y também está no primeiro quadrante, \sin y é positivo e
\sin y = \sqrt{1 - \cos^2 y} = \sqrt{1 - \Bigl(\tfrac{4}{5}\Bigr)^2} = \sqrt{\tfrac{9}{25}} = \tfrac{3}{5}.

Passo 4

Substituindo na identidade:
\sin(x - y) = \frac{1}{3}\cdot\frac{4}{5} - \frac{2\sqrt{2}}{3}\cdot\frac{3}{5} = \frac{4}{15} - \frac{6\sqrt{2}}{15} = \frac{4 - 6\sqrt{2}}{15}.

Resposta

\displaystyle \frac{4 - 6\sqrt{2}}{15}

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