Se operatorname{sen} x=\frac{1}{3} e \cos y=\frac{4}{5}, onde x e y existem entre 0 e \frac{\pi}{2}, Avalie a expressão.
\operatorname{sen} 2 y

Passo 1

O enunciado dá \sin x = \tfrac{1}{3} e \cos y = \tfrac{4}{5} com x,y\in\bigl[0,\tfrac{\pi}{2}\bigr], e pede \sin(2y). Para isso vamos usar a identidade de Pitágoras para achar \sin y e a fórmula do ângulo duplo
\sin(2y)=2\sin y\cos y.

Passo 2

Como \cos y=\tfrac{4}{5} e y está no primeiro quadrante, temos
\sin^2 y + \cos^2 y = 1
\sin^2 y + \Bigl(\tfrac{4}{5}\Bigr)^2 = 1
\sin^2 y + \tfrac{16}{25} = 1
\sin^2 y = 1 - \tfrac{16}{25} = \tfrac{9}{25}
\sin y = \sqrt{\tfrac{9}{25}} = \tfrac{3}{5}.

Passo 3

Agora aplicamos a fórmula do ângulo duplo para y:
\sin(2y)=2\sin y\cos y.

Passo 4

Substituindo \sin y=\tfrac{3}{5} e \cos y=\tfrac{4}{5} na fórmula:
\sin(2y)=2\cdot \tfrac{3}{5}\cdot \tfrac{4}{5} = \tfrac{24}{25}.

Resposta

\tfrac{24}{25}

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