\operatorname{senh}(x)+\operatorname{cosh} (-x)-100=0

Passo 1

O enunciado pede para encontrar x que satisfaça a equação
\operatorname{senh}(x)+\operatorname{cosh}(-x)-100=0.
Informações dadas relevantes:
\operatorname{senh}(x) é a função seno hiperbólico de x e \operatorname{cosh}(x) é o cosseno hiperbólico de x. A incógnita é x (presumimos x\in\mathbb{R}). A tarefa é resolver a equação e achar todos os valores de x que a satisfazem.

Passo 2

Vamos usar propriedades básicas das funções hiperbólicas que são úteis e fáceis de entender. Duas propriedades importantes são:
\operatorname{cosh}(-x)=\operatorname{cosh}(x)\quad\text{(a função \(\operatorname{cosh}\) é par)}çãé
\operatorname{sinh}(-x)=-\operatorname{sinh}(x)\quad\text{(a função \(\operatorname{sinh}\) é ímpar)}çãéí
Aqui notei que o enunciado usa \operatorname{senh}; é o mesmo que \operatorname{sinh}. Usando a paridade de \operatorname{cosh} podemos substituir \operatorname{cosh}(-x) por \operatorname{cosh}(x). Assim a equação fica
\operatorname{sinh}(x)+\operatorname{cosh}(x)-100=0.

Passo 3

Agora vou transformar \operatorname{sinh} e \operatorname{cosh} em expressões com exponenciais, porque isso costuma simplificar muito. As definições são:
\operatorname{sinh}(x)=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2},\qquad \operatorname{cosh}(x)=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}.
Aqui e^{x} é a função exponencial (base e, número de Euler) e e^{-x} é seu recíproco quando alteramos o sinal de x. Subindo as duas definições e somando, obtemos uma simplificação direta:
\operatorname{sinh}(x)+\operatorname{cosh}(x)=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}+\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}=e^{x}.
Explicando passo a passo: os termos com e^{-x} se cancelam na soma dos numeradores e os termos com e^{x} somam, dando 2e^{x} dividido por 2, que resulta em e^{x}.

Passo 4

Substituindo essa simplificação na equação original obtemos uma equação exponencial muito simples:
e^{x}-100=0.
Ou seja,
e^{x}=100.

Passo 5

Para resolver e^{x}=100 usamos a função logaritmo natural \ln, que é a inversa da exponencial e^{x}. Tomando \ln em ambos os lados (isso é válido porque 100>0 e \ln é definida em positivos), obtemos
x=\ln(100).
É útil lembrar que \ln é estritamente crescente, então essa solução é única. Também podemos escrever 100=10^{2}, então
x=\ln(100)=\ln(10^{2})=2\ln(10).
Numericamente, aproximando \ln(10)\approx 2,302585, temos
x\approx 4,605170.

Passo 6

Verificação rápida (mental): se x=\ln(100) então e^{x}=100 e, pelo passo 3, \operatorname{sinh}(x)+\operatorname{cosh}(x)=e^{x}=100, reinserindo na equação original dá 100-100=0. Está consistente. Como e^{x} é estritamente crescente, não há outras soluções.

Resposta

x=\ln(100)=2\ln(10)\approx 4,605170

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