Passo 1
O enunciado pede para encontrar
que satisfaça a equação
Informações dadas relevantes:
é a função seno hiperbólico de
e
é o cosseno hiperbólico de
. A incógnita é
(presumimos
). A tarefa é resolver a equação e achar todos os valores de
que a satisfazem.
Passo 2
Vamos usar propriedades básicas das funções hiperbólicas que são úteis e fáceis de entender. Duas propriedades importantes são:
Aqui notei que o enunciado usa
; é o mesmo que
. Usando a paridade de
podemos substituir
por
. Assim a equação fica
Passo 3
Agora vou transformar
e
em expressões com exponenciais, porque isso costuma simplificar muito. As definições são:
Aqui
é a função exponencial (base
, número de Euler) e
é seu recíproco quando alteramos o sinal de
. Subindo as duas definições e somando, obtemos uma simplificação direta:
Explicando passo a passo: os termos com
se cancelam na soma dos numeradores e os termos com
somam, dando
dividido por
, que resulta em
.
Passo 4
Substituindo essa simplificação na equação original obtemos uma equação exponencial muito simples:
Ou seja,
Passo 5
Para resolver
usamos a função logaritmo natural
, que é a inversa da exponencial
. Tomando
em ambos os lados (isso é válido porque
e
é definida em positivos), obtemos
É útil lembrar que
é estritamente crescente, então essa solução é única. Também podemos escrever
, então
Numericamente, aproximando
, temos
Passo 6
Verificação rápida (mental): se
então
e, pelo passo 3,
, reinserindo na equação original dá
. Está consistente. Como
é estritamente crescente, não há outras soluções.