Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação
Informações / observações do enunciado que vamos usar:
- Há uma raiz quadrada
, então o conteúdo dentro dela deve ser não-negativo: . - A incógnita é
. A solução deve satisfazer a equação original (atenção: operações como elevar ao quadrado podem introduzir soluções extraviadas). - A pergunta implícita é encontrar todos os
reais que tornam a igualdade verdadeira.
Passo 2
Isolo a raiz e explicito as restrições de domínio:
Porque
é sempre não-negativa, o lado direito também deve ser não-negativo:
Da condição dentro da raiz:
Interseção das duas condições: a solução só pode estar em
Passo 3
Elevo ambos os lados ao quadrado (com cuidado: isso pode gerar soluções extraviadas, que teremos que descartar depois):
Rearranjando todos os termos para o lado esquerdo:
Esse é um polinômio de quarto grau cuja resolução algébrica exata é trabalhosa; além disso, como disse, algumas raízes desse polinômio podem não satisfazer a equação original por causa do quadrado. Então, é conveniente combinar análise qualitativa (existência e unicidade) com um método numérico para encontrar a solução prática.
Passo 4
Mostro que a equação original tem exatamente uma solução real no domínio encontrado. Defino a função
Calculo a derivada (vai ajudar a saber se
é monótona):
Para
temos
e
, logo cada parcela é positiva e assim
Portanto
é estritamente crescente em
. Uma função estritamente crescente pode ter no máximo uma raiz. Agora verifico sinais em pontos fáceis:
Como
é contínua e muda de sinal entre
e
, pelo Teorema do Valor Intermediário existe pelo menos uma raiz em
. Com a monotonicidade, concluímos que existe exatamente uma raiz real no intervalo
e ela está em
. Agora vamos encontrá-la numericamente.
Passo 5
Escolho o método de Newton–Raphson porque converge rápido quando a função é suave e a raiz é única. Para
definido acima, a iteração de Newton é
onde
Explico rápido: a ideia é aproximar
por sua reta tangente no ponto
e tomar a interseção dessa reta com o eixo
como nova aproximação. Como
é crescente e suave aqui, Newton converge bem a partir de uma boa aproximação inicial; tomo
porque está dentro do intervalo
.
Passo 6
Faço as iterações com cuidado, mostrando os cálculos (aproximações decimais):
- Iteração 0:
.
Calculoe :
Atualizo:
- Iteração 1:
.
Calculo, e por aproximação:
Atualizo:
- Iteração 2:
.
Com esses valoresjá é muito próximo de zero (algumas unidades de a dependendo da precisão das contas), logo a convergência foi rápida. Podemos aceitar com boa confiança (cinco casas decimais). Para segurança, verifico a equação original aproximando:
Como
é estritamente crescente, essa é a única solução real.
Passo 7
Resumo e justificativa final:
- A solução deve satisfazer
e ; encontramos que a única raiz real está em . - Pela monotonicidade de
há exatamente uma raiz. - Pelo método de Newton obtivemos a aproximação
. - Teste aproximado na equação original confirma que essa aproximação anula a expressão dentro do erro numérico.