\sqrt{x^{3}-1}+x^{2}-10=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação
\sqrt{x^{3}-1}+x^{2}-10=0.
Informações / observações do enunciado que vamos usar:
  • Há uma raiz quadrada \sqrt{x^{3}-1}, então o conteúdo dentro dela deve ser não-negativo: x^{3}-1\ge 0.
  • A incógnita é x. A solução deve satisfazer a equação original (atenção: operações como elevar ao quadrado podem introduzir soluções extraviadas).
  • A pergunta implícita é encontrar todos os x reais que tornam a igualdade verdadeira.

Passo 2

Isolo a raiz e explicito as restrições de domínio:
\sqrt{x^{3}-1}=10-x^{2}.
Porque \sqrt{\cdot} é sempre não-negativa, o lado direito também deve ser não-negativo:
10-x^{2}\ge 0 \quad\Rightarrow\quad x^{2}\le 10 \quad\Rightarrow\quad -\sqrt{10}\le x\le \sqrt{10}.
Da condição dentro da raiz:
x^{3}-1\ge 0 \quad\Rightarrow\quad x\ge 1.
Interseção das duas condições: a solução só pode estar em
x\in[1,\sqrt{10}].

Passo 3

Elevo ambos os lados ao quadrado (com cuidado: isso pode gerar soluções extraviadas, que teremos que descartar depois):
\bigl(\sqrt{x^{3}-1}\bigr)^{2}=(10-x^{2})^{2}
x^{3}-1=100-20x^{2}+x^{4}.
Rearranjando todos os termos para o lado esquerdo:
x^{4}-x^{3}-20x^{2}+101=0.
Esse é um polinômio de quarto grau cuja resolução algébrica exata é trabalhosa; além disso, como disse, algumas raízes desse polinômio podem não satisfazer a equação original por causa do quadrado. Então, é conveniente combinar análise qualitativa (existência e unicidade) com um método numérico para encontrar a solução prática.

Passo 4

Mostro que a equação original tem exatamente uma solução real no domínio encontrado. Defino a função
f(x)=\sqrt{x^{3}-1}+x^{2}-10,\qquad x\ge 1.
Calculo a derivada (vai ajudar a saber se f é monótona):
f'(x)=\frac{3x^{2}}{2\sqrt{x^{3}-1}}+2x.
Para x>1 temos \sqrt{x^{3}-1}>0 e x>0, logo cada parcela é positiva e assim
f'(x)>0\quad\text{para todo }x>1.
Portanto f é estritamente crescente em [1,\infty). Uma função estritamente crescente pode ter no máximo uma raiz. Agora verifico sinais em pontos fáceis:
f(2)=\sqrt{2^{3}-1}+2^{2}-10=\sqrt{7}+4-10\approx 2{,}6458+4-10=-3{,}3542<0,
f(3)=\sqrt{3^{3}-1}+3^{2}-10=\sqrt{26}+9-10\approx 5{,}0990+9-10=4{,}0990>0.
Como f é contínua e muda de sinal entre 2 e 3, pelo Teorema do Valor Intermediário existe pelo menos uma raiz em (2,3). Com a monotonicidade, concluímos que existe exatamente uma raiz real no intervalo [1,\sqrt{10}] e ela está em (2,3). Agora vamos encontrá-la numericamente.

Passo 5

Escolho o método de Newton–Raphson porque converge rápido quando a função é suave e a raiz é única. Para f(x) definido acima, a iteração de Newton é
x_{n+1}=x_{n}-\frac{f(x_{n})}{f'(x_{n})},
onde
f(x)=\sqrt{x^{3}-1}+x^{2}-10,\qquad f'(x)=\frac{3x^{2}}{2\sqrt{x^{3}-1}}+2x.
Explico rápido: a ideia é aproximar f por sua reta tangente no ponto x_n e tomar a interseção dessa reta com o eixo x como nova aproximação. Como f é crescente e suave aqui, Newton converge bem a partir de uma boa aproximação inicial; tomo x_0=2{,}5 porque está dentro do intervalo (2,3).

Passo 6

Faço as iterações com cuidado, mostrando os cálculos (aproximações decimais):
  • Iteração 0: x_{0}=2{,}5.
    Calculo f(x_{0}) e f'(x_{0}): x_{0}^{2}=6{,}25,\qquad x_{0}^{3}=15{,}625,\qquad \sqrt{x_{0}^{3}-1}=\sqrt{14{,}625}\approx 3{,}824918.
f(x_{0})\approx 3{,}824918+6{,}25-10=0{,}074918.
f'(x_{0})\approx \frac{3\cdot 6{,}25}{2\cdot 3{,}824918}+2\cdot 2{,}5 =\frac{18{,}75}{7{,}649836}+5\approx 2{,}450537+5=7{,}450537.
Atualizo:
x_{1}=2{,}5-\frac{0{,}074918}{7{,}450537}\approx 2{,}489951.
  • Iteração 1: x_{1}\approx 2{,}489951.
    Calculo x_{1}^{2}, x_{1}^{3} e \sqrt{x_{1}^{3}-1} por aproximação: x_{1}^{2}\approx 6{,}199856,\qquad x_{1}^{3}\approx 15{,}437338,\qquad \sqrt{x_{1}^{3}-1}=\sqrt{14{,}437338}\approx 3{,}799630.
f(x_{1})\approx 3{,}799630+6{,}199856-10\approx -0{,}000514.
f'(x_{1})\approx \frac{3\cdot 6{,}199856}{2\cdot 3{,}799630}+2\cdot 2{,}489951 \approx \frac{18{,}599568}{7{,}599260}+4{,}979902\approx 2{,}447460+4{,}979902=7{,}427362.
Atualizo:
x_{2}=2{,}489951-\frac{-0{,}000514}{7{,}427362}\approx 2{,}490020.
  • Iteração 2: x_{2}\approx 2{,}490020.
    Com esses valores f(x_{2}) já é muito próximo de zero (algumas unidades de 10^{-8} a 10^{-6} dependendo da precisão das contas), logo a convergência foi rápida. Podemos aceitar x\approx 2{,}49002com boa confiança (cinco casas decimais). Para segurança, verifico a equação original aproximando: x^{3}\approx 15{,}4383,\quad \sqrt{x^{3}-1}\approx 3{,}79970,\quad x^{2}\approx 6{,}20010,
\sqrt{x^{3}-1}+x^{2}-10\approx 3{,}79970+6{,}20010-10\approx 0{,}00000\\ (\text{próximo de }0).ó
Como f é estritamente crescente, essa é a única solução real.

Passo 7

Resumo e justificativa final:
  • A solução deve satisfazer x\ge 1 e x^{2}\le 10; encontramos que a única raiz real está em (2,3).
  • Pela monotonicidade de f há exatamente uma raiz.
  • Pelo método de Newton obtivemos a aproximação x\approx 2{,}49002.
  • Teste aproximado na equação original confirma que essa aproximação anula a expressão dentro do erro numérico.

Resposta

x\approx 2{,}49002

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