Se \operatorname{tg}(\theta)=2, determine um triângulo possível e calcule \operatorname{sen}(\theta) e \cos (\theta).

Passo 1

O enunciado dá que \operatorname{tg}(\theta)=2.
As perguntas são:
  • Determinar um triângulo possível correspondente a esse ângulo \theta.
  • Calcular \operatorname{sen}(\theta) e \cos(\theta).

Passo 2

Entender o que significa \operatorname{tg}(\theta)=2.
Por definição em um triângulo retângulo:
\operatorname{tg}(\theta)=\frac{\text{cateto oposto a }\theta}{\text{cateto adjacente a }\theta}.
Aqui a igualdade \operatorname{tg}(\theta)=2 significa que a razão entre o cateto oposto e o cateto adjacente vale 2. Isso não fixa os comprimentos absolutos, apenas a razão entre eles.

Passo 3

Escolher um triângulo que satisfaz a razão dada (qualquer múltiplo funciona). A escolha mais simples é tomar:
  • cateto oposto = 2,
  • cateto adjacente = 1.
    Essa escolha dá a razão
\frac{\text{oposto}}{\text{adjacente}}=\frac{2}{1}=2,
ou seja, \operatorname{tg}(\theta)=2. Portanto um triângulo retângulo possível tem catetos 2 (oposto) e 1 (adjacente).

Passo 4

Calcular a hipotenusa do triângulo usando o Teorema de Pitágoras. O teorema diz que, para um triângulo retângulo com catetos a e b e hipotenusa h,
h^{2}=a^{2}+b^{2}.
Aqui a=1 e b=2, então
h=\sqrt{1^{2}+2^{2}}=\sqrt{1+4}=\sqrt{5}.
Portanto a hipotenusa vale \sqrt{5}.

Passo 5

Usar as definições de seno e cosseno em triângulo retângulo:
\operatorname{sen}(\theta)=\frac{\text{cateto oposto}}{\text{hipotenusa}},\qquad \cos(\theta)=\frac{\text{cateto adjacente}}{\text{hipotenusa}}.
Substituindo os comprimentos que escolhemos:
\operatorname{sen}(\theta)=\frac{2}{\sqrt{5}},\qquad \cos(\theta)=\frac{1}{\sqrt{5}}.

Passo 6

Racionalizar os denominadores (opcional, mas comum):
Multiplicando numerador e denominador por \sqrt{5},
\operatorname{sen}(\theta)=\frac{2}{\sqrt{5}}\cdot\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5},
\cos(\theta)=\frac{1}{\sqrt{5}}\cdot\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}.

Passo 7

Observação sobre sinal: \operatorname{tg}(\theta)=2>0 implica que seno e cosseno têm o mesmo sinal. No contexto de um triângulo retângulo (ângulo agudo) escolhemos os valores positivos acima. Se alguém considerar um ângulo com tangente 2 em outro quadrante (quadrante III), então seno e cosseno seriam ambos negativos; nesse caso os valores absolutos seriam os mesmos e os sinais mudariam.

Resposta

Triângulo: cateto oposto =2, cateto adjacente =1, hipotenusa \sqrt{5}.
\operatorname{sen}(\theta)=\dfrac{2}{\sqrt{5}}=\dfrac{2\sqrt{5}}{5}
\cos(\theta)=\dfrac{1}{\sqrt{5}}=\dfrac{\sqrt{5}}{5}

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