(4.12 - Oppenheim) Considere o par transformado de Fourier
e^-|t| stackrelFlong<=ftrightarrow 21+omega^2
(a) Use as propriedades apropriadas da transformada de Fourier para encontrar a transformada de Fourier de t e^-|t|.
(b) Use o resultado do item (a), juntamente com a propriedade da dualidade, para determinar a trans formada de Fourier de
4 t(1+t^2)^2
Dica: Ver Exemplo 4.13.

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Fourier de t,e^-|t| e, em seguida, a transformada de tfrac4t(1+t^2)^2. Para isso usaremos a propriedade de multiplicação por t no domínio do tempo (que vira derivação em frequência) e a propriedade de dualidade da transformada de Fourier.

Passo 2

A propriedade de multiplicação por t é: se
x(t)stackrelFlong<=ftrightarrowX(omega),
então
Ft,x(t) = j,ddomegaX(omega)
Aqui tomamos x(t)=e^-|t|, cuja transformada conhecida é
X(omega)=21+omega^2

Passo 3

Calculamos a derivada de X(omega):
ddomegal(21+omega^2r) =2cdot-2omega(1+omega^2)^2 =-4omega(1+omega^2)^2
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Ft,e^-|t| = j;l(-4omega(1+omega^2)^2r) =-4j,omega(1+omega^2)^2

Passo 4

Para obter a transformada de tfrac4t(1+t^2)^2 usamos a dualidade: se
x(t)stackrelFlong<=ftrightarrowX(omega),
então
X(t)stackrelFlong<=ftrightarrow2pi,x(-omega)
No item (a) definimos
x1(t)=t,e^-|t|, X1(omega)=-4j,omega(1+omega^2)^2

Passo 5

Note que
X1(t) =-4j,t(1+t^2)^2 Longrightarrow 4t(1+t^2)^2 =-1j;X1(t)
Aplicando a transformada de Fourier e a dualidade:
Fltfrac4t(1+t^2)^2r =-1j,FX1(t) =-1j,2pi,x1(-omega)
Como
x1(-omega)=(-omega)e^-|omega|=-omega,e^-|omega|,
segue
Fltfrac4t(1+t^2)^2r =-2pij,(-omega,e^-|omega|) = -2pi j,omega,e^-|omega|

Resposta

(a) Ft,e^-|t| =-4j,omega(1+omega^2)^2
(b) Fl4t(1+t^2)^2r =-2pi j,omega,e^-|omega|

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