(4.12 - Oppenheim) Considere o par transformado de Fourier
(a) Use as propriedades apropriadas da transformada de Fourier para encontrar a transformada de Fourier de
.
(b) Use o resultado do item (a), juntamente com a propriedade da dualidade, para determinar a trans formada de Fourier de
Dica: Ver Exemplo 4.13.
(b) Use o resultado do item (a), juntamente com a propriedade da dualidade, para determinar a trans formada de Fourier de
Passo 1
O enunciado pede a transformada de Fourier de
e, em seguida, a transformada de
. Para isso usaremos a propriedade de multiplicação por
no domínio do tempo (que vira derivação em frequência) e a propriedade de dualidade da transformada de Fourier.
Passo 2
A propriedade de multiplicação por
é: se
então
Aqui tomamos
, cuja transformada conhecida é
Passo 3
Calculamos a derivada de
:
Logo
Passo 4
Para obter a transformada de
usamos a dualidade: se
então
No item (a) definimos
Passo 5
Note que
Aplicando a transformada de Fourier e a dualidade:
Como
segue
Resposta
(a)
(b)
(b)