1. Óptica geométrica
Uma lente esférica satisfaz a equação
\frac{1}{f}=\frac{1}{d_{o}}+\frac{1}{d_{i}}. Para f=50 mm e d_o variando, modele d_i(d_o) e discuta comportamento assintótico.

Passo 1

O enunciado fala da equação das lentes delgadas
\frac{1}{f} = \frac{1}{d_{o}} + \frac{1}{d_{i}},
com f = 50\,\mathrm{mm} fixo e d_{o} variando. Queremos modelar d_{i} em função de d_{o} e discutir os comportamentos assintóticos dessa relação.

Passo 2

Isolando d_{i} na equação das lentes:
\frac{1}{d_{i}} = \frac{1}{f} - \frac{1}{d_{o}} = \frac{d_{o} - f}{f\,d_{o}}.
Invertendo, obtemos
d_{i}(d_{o}) = \frac{f\,d_{o}}{d_{o} - f}.
Substituindo f=50\,\mathrm{mm}:
d_{i}(d_{o}) = \frac{50\,d_{o}}{d_{o} - 50}\quad(\mathrm{mm}).

Passo 3

Para d_{o}\to\pm\infty, o termo (d_{o}-50)\approx d_{o}, logo
d_{i}(d_{o})\;\longrightarrow\;50\\ (\mathrm{mm}).
Isso mostra uma assíntota horizontal em d_{i}=50\,\mathrm{mm}.

Passo 4

Quando d_{o}\to 50\,\mathrm{mm}, o denominador d_{o}-50\to 0, fazendo
d_{i}(d_{o}) \;\longrightarrow\;\pm\infty
dependendo se d_{o} se aproxima de 50\,\mathrm{mm} por cima +\infty ou por baixo -\infty. Isso indica uma assíntota vertical em d_{o}=50\,\mathrm{mm}.

Passo 5

Analisando o sinal de d_{i}:
  • Se d_{o}>50\,\mathrm{mm}, então d_{o}-50>0 e d_{i}>0: imagem real.
  • Se 0<d_{o}<50\,\mathrm{mm}, então d_{o}-50<0 e d_{i}<0: imagem virtual.
  • Em d_{o}=50\,\mathrm{mm}, a imagem vai para o infinito.

Resposta

A função que modela a distância da imagem é
d_{i}(d_{o}) = \frac{50\,d_{o}}{d_{o} - 50}\,,
com assíntota horizontal em d_{i}=50\,\mathrm{mm} e assíntota vertical em d_{o}=50\,\mathrm{mm}. Para d_{o}>50\,\mathrm{mm} obtém-se imagem real d_{i}>0, e para d_{o}<50\,\mathrm{mm} imagem virtual d_{i}<0.

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