Uma moeda é lançada 100 \times e cai cara 60 \times. A 5 \% de significância, rejeita-se \mathrm{H}_{0} : p=0,5 ?

Passo 1

O enunciado diz que lançamos uma moeda n=100 vezes e obtivemos X=60 caras. Queremos testar, a 5\% de significância, a hipótese nula
H_0: p = 0,5
contra a alternativa bilateral
H_1: p \neq 0,5.
Este é um teste de proporção em variável binomial, que usaremos via aproximação normal.

Passo 2

Definimos a proporção amostral
\hat p = \frac{X}{n} = \frac{60}{100} = 0{,}6.
Sob H_0, a média de \hat p é p_0=0,5 e a variância é
\mathrm{Var}(\hat p) = \frac{p_0(1-p_0)}{n} = \frac{0{,}5\cdot0{,}5}{100} = 0{,}0025,
logo o desvio padrão é \sqrt{0{,}0025}=0{,}05.

Passo 3

Calculamos a estatística z pela fórmula da normal padrão:
z = \frac{\hat p - p_0}{\sqrt{p_0(1-p_0)/n}} = \frac{0{,}6 - 0{,}5}{0{,}05} = 2.

Passo 4

Para um teste bilateral com nível \alpha=0,05, o ponto crítico é
z_{1-\alpha/2} = z_{0,975} \approx 1{,}96.
Como \lvert z\rvert = 2 > 1{,}96, caímos na região de rejeição de H_0.

Passo 5

O p-valor corresponde a
\text{p-valor} = 2\bigl(1 - \Phi(\lvert z\rvert)\bigr) \approx 2\bigl(1 - \Phi(2)\bigr) \approx 2(1 - 0{,}97725) = 0{,}0455 < 0{,}05,
o que confirma que rejeitamos H_0.

Resposta

Sim, rejeita-se H_0 ao nível de significância de 5\%.

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