Uma OPU propagando-se num material bom condutor e não magnético tem sua amplitude reduzidz a 53,35 \% do seu valor inicial para cada centímetro percorrido. Se a frequência é de 10 MHz , calcular:

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que vou calcular (assumindo as quantidades mais comuns que esse enunciado costuma pedir):
  • Dados fornecidos:
    • A amplitude da onda é reduzida a 0,5335 do valor inicial para cada centímetro percorrido. Ou seja, ao percorrer 1\\ \text{cm} a amplitude é multiplicada por 0,5335.
    • A frequência é \,10\\ \text{MHz} (ou seja \,f=10\times10^{6}\\ \text{Hz}).
    • O material é um bom condutor e não magnético (portanto \mu\approx\mu_{0}, com \mu_{0}=4\pi\times10^{-7}\\ \text{H/m}).
  • O que vou calcular:
    1. A constante de atenuação \alpha (em \text{Np/m} e \text{Np/cm}), definida por decaimento exponencial da amplitude.
    2. A profundidade de penetração (skin depth) \delta, definida por \delta=1/\alpha.
    3. A constante de fase \beta e o comprimento de onda \lambda no material, usando a aproximação para bom condutor \beta\approx\alpha.
    4. Estimar a condutividade elétrica \sigma do material usando a relação válida para bom condutor \alpha\approx\beta\approx\sqrt{\pi f \mu \sigma}.

Passo 2

Entender a relação entre atenuação e \alpha.
  • Para uma onda que decai exponencialmente, a amplitude A(x) varia como
A(x)=A(0)\,e^{-\alpha x},
onde \alpha é a constante de atenuação em \text{Np/m} e x é a distância em metros.
  • Do enunciado sabemos que para x=1\\ \text{cm}=0,01\\ \text{m} vale
\frac{A(0,01)}{A(0)}=0,5335 = e^{-\alpha\cdot 0,01}.
  • Tomando logaritmo natural em ambos os lados, obtemos a expressão para \alpha:
\alpha = -\frac{\ln(0,5335)}{0,01}.

Passo 3

Calcular numericamente \alpha.
  • Primeiro calcular \ln(0,5335). Uma avaliação numérica dá
\ln(0,5335)\approx -0,62791.
  • Portanto
\alpha = -\frac{-0,62791}{0,01}=\frac{0,62791}{0,01}=62,791\\ \text{m}^{-1}.
  • Em \text{Np/cm} basta dividir por 100 ou calcular direto:
\alpha \approx 0,62791\\ \text{cm}^{-1}.
(Arredondarei os resultados finais com números significativos apropriados.)

Passo 4

Calcular a profundidade de penetração \delta.
  • Definição: \delta=\dfrac{1}{\alpha}. Isso é a distância na qual a amplitude cai a 1/e ( \approx 0,3679) do valor inicial.
  • Usando \alpha=62,791\\ \text{m}^{-1}:
\delta=\frac{1}{62,791}\approx 0,01592\\ \text{m}=1,592\\ \text{cm}.
  • Interpretação física rápida (didática): em \approx1,59\\ \text{cm} a amplitude já caiu para cerca de 37\% do original; em 1\\ \text{cm} ela ficou em 53{,}35\%, conforme dado.

Passo 5

Relações para bom condutor e cálculo de \beta e \lambda.
  • Em um bom condutor (quando \sigma\gg\omega\varepsilon) vale a aproximação
\alpha\approx\beta\approx\sqrt{\pi f \mu \sigma},
onde \beta é a constante de fase (em \text{rad/m}), \mu é a permeabilidade (aqui \mu\approx\mu_{0}) e \sigma é a condutividade.
  • Se aceitarmos a aproximação \beta\approx\alpha (válida para bom condutor), então o comprimento de onda no material é
\lambda=\frac{2\pi}{\beta}\approx\frac{2\pi}{\alpha}.
  • Usando \alpha=62,791\\ \text{m}^{-1}:
\lambda\approx\frac{2\pi}{62,791}\approx 0,10007\\ \text{m}=10,007\\ \text{cm}.
  • Interpretação: embora a frequência seja 10\\ \text{MHz} (comprimento de onda no vácuo \approx30\\ \text{m}), dentro do condutor a componente de fase tem comprimento de onda muito menor devido à forte atenuação.

Passo 6

Estimativa da condutividade \sigma a partir de \alpha.
  • Rearranjando \alpha\approx\sqrt{\pi f \mu \sigma} para \sigma:
\sigma\approx\frac{\alpha^{2}}{\pi f \mu}.
  • Tomando \mu=\mu_{0}=4\pi\times10^{-7}\\ \text{H/m} e f=10\times10^{6}\\ \text{Hz}, primeiro calculamos o denominador:
\pi f \mu_{0}=\pi\cdot(10\times10^{6})\cdot(4\pi\times10^{-7})=4\pi^{2}\approx 39,4784.
(essa simplificação numérica resulta porque 10\times10^{6}\cdot10^{-7}=1.)
  • Agora \alpha^{2}\approx(62,791)^{2}\approx 3\,942{,}7.
  • Portanto
\sigma\approx\frac{3\,942{,}7}{39,4784}\approx 99,87\\ \text{S/m}\approx 100\\ \text{S/m}.
  • Comentário didático: esse valor de \sigma não é da ordem de metais bons (que têm \sim10^{7}\\ \text{S/m}), mas mostra que, com os dados fornecidos, a “boa condutividade” pedida no enunciado é relativa; a fórmula usada é a adequada para condutores onde \sigma domina sobre \omega\varepsilon.

Passo 7

Resumo numérico (arredondando razoavelmente e mostrando unidades):
  • \alpha\approx 62,79\\ \text{m}^{-1}=0,6279\\ \text{cm}^{-1}.
  • \delta=\dfrac{1}{\alpha}\approx 0,01592\\ \text{m}=1,592\\ \text{cm}.
  • \beta\approx\alpha\approx 62,79\\ \text{m}^{-1}.
  • \lambda\approx\dfrac{2\pi}{\alpha}\approx 0,10007\\ \text{m}=10,01\\ \text{cm}.
  • \sigma\approx 9,99\times10^{1}\\ \text{S/m}\approx 100\\ \text{S/m}.

Resposta

\alpha\approx 62,79\\ \text{m}^{-1}=0,6279\\ \text{cm}^{-1}
\delta\approx 0,01592\\ \text{m}=1,592\\ \text{cm}
\beta\approx 62,79\\ \text{m}^{-1}
\lambda\approx 0,10007\\ \text{m}=10,01\\ \text{cm}
\sigma\approx 9,99\times10^{1}\\ \text{S/m}\approx 100\\ \text{S/m}

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