Uma OPU propagando-se num material bom condutor e não magnético tem sua amplitude reduzidz a
do seu valor inicial para cada centímetro percorrido. Se a frequência é de 10 MHz , calcular:
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que vou calcular (assumindo as quantidades mais comuns que esse enunciado costuma pedir):
- Dados fornecidos:
- A amplitude da onda é reduzida a
do valor inicial para cada centímetro percorrido. Ou seja, ao percorrer a amplitude é multiplicada por . - A frequência é
(ou seja ). - O material é um bom condutor e não magnético (portanto
, com ).
- A amplitude da onda é reduzida a
- O que vou calcular:
- A constante de atenuação
(em e ), definida por decaimento exponencial da amplitude. - A profundidade de penetração (skin depth)
, definida por . - A constante de fase
e o comprimento de onda no material, usando a aproximação para bom condutor . - Estimar a condutividade elétrica
do material usando a relação válida para bom condutor .
- A constante de atenuação
Passo 2
Entender a relação entre atenuação e
.
- Para uma onda que decai exponencialmente, a amplitude
varia como
onde
é a constante de atenuação em
e
é a distância em metros.
- Do enunciado sabemos que para
vale
- Tomando logaritmo natural em ambos os lados, obtemos a expressão para
:
Passo 3
Calcular numericamente
.
- Primeiro calcular
. Uma avaliação numérica dá
- Portanto
- Em
basta dividir por ou calcular direto:
(Arredondarei os resultados finais com números significativos apropriados.)
Passo 4
Calcular a profundidade de penetração
.
- Definição:
. Isso é a distância na qual a amplitude cai a ( ) do valor inicial. - Usando
:
- Interpretação física rápida (didática): em
a amplitude já caiu para cerca de do original; em ela ficou em , conforme dado.
Passo 5
Relações para bom condutor e cálculo de
e
.
- Em um bom condutor (quando
) vale a aproximação
onde
é a constante de fase (em
),
é a permeabilidade (aqui
) e
é a condutividade.
- Se aceitarmos a aproximação
(válida para bom condutor), então o comprimento de onda no material é
- Usando
:
- Interpretação: embora a frequência seja
(comprimento de onda no vácuo ), dentro do condutor a componente de fase tem comprimento de onda muito menor devido à forte atenuação.
Passo 6
Estimativa da condutividade
a partir de
.
- Rearranjando
para :
- Tomando
e , primeiro calculamos o denominador:
(essa simplificação numérica resulta porque
.)
- Agora
. - Portanto
- Comentário didático: esse valor de
não é da ordem de metais bons (que têm ), mas mostra que, com os dados fornecidos, a “boa condutividade” pedida no enunciado é relativa; a fórmula usada é a adequada para condutores onde domina sobre .
Passo 7
Resumo numérico (arredondando razoavelmente e mostrando unidades):
-
. -
. -
. -
. -
.