Uma OPU com f=100 \mathrm{MHz} propaga-se no espaço livre e incide perpendicularmente num blaco de um material dielétrico sem perdas, não magnético, com espessura infinita Sabe-se que 64 \% da potência incidente são transmitidos para o dielétrico. Além disso, verificou-se que o valor máximo do campo elétrico no espaço livre é de 320 \mathrm{~V} / \mathrm{m}.
Determinar:
(1.0) a) a permissividade relativa do material dielétrico;
(2.0) b) as amplitudes do campo elétrico das ondas incidente, refletida e transmitida;
(4.0) c) as amplitudes do campo magnético das ondas incidente, refletida e transmitida;
(1.0) d) a distância que a onda deve percorrer no espaço livre para que sua fase varie de 60^{\circ}.

Passo 1

Vamos organizar o que o enunciado nos deu e o que pede. Dados fornecidos:
  • frequência: \,f=100\\ \mathrm{MHz}.
  • meio de incidência: espaço livre (meio 1), meio transmitido: dielétrico sem perdas, não magnético, espessura infinita (meio 2).
  • fração da potência incidente que é transmitida para o dielétrico: \,T_{\text{pot}}=0{,}64 (ou seja 64\%).
  • valor máximo do campo elétrico no espaço livre (resultado da superposição incidente + refletida): \,E_{\max}=320\\ \mathrm{V/m}.
O que o problema pede:
(a) determinar a permissividade relativa \varepsilon_r do dielétrico;
(b) amplitudes do campo elétrico das ondas incidente, refletida e transmitida ( E_i,\;E_r,\;E_t);
(c) amplitudes do campo magnético das ondas incidente, refletida e transmitida ( H_i,\;H_r,\;H_t);
(d) distância no espaço livre para que a fase varie 60^\circ.
Constantes úteis que usaremos:
  • velocidade da luz no vácuo: \,c\approx 3{,}0\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}.
  • impedância característica do espaço livre: \,\eta_0=120\pi\approx 376{,}99\\ \Omega.

Passo 2

Relação entre fração de potência transmitida e impedâncias (teoria básica, passo-a-passo).
  • Para onda plana incidente normalmente entre meios com impedâncias \eta_1 (meio 1) e \eta_2 (meio 2), os coeficientes de reflexão e transmissão de campo elétrico são:
\Gamma=\frac{\eta_2-\eta_1}{\eta_2+\eta_1}, \qquad \frac{E_t}{E_i}=\tau=\frac{2\eta_2}{\eta_2+\eta_1}.
  • A densidade média de potência (valor médio do vetor de Poynting) para uma onda plana em meio lossless é \,S=\tfrac{1}{2}\dfrac{|E|^2}{\eta}. Assim a fração de potência transmitida (potência transmitida sobre potência incidente) é
T_{\text{pot}}=\frac{S_t}{S_i}=\frac{\tfrac{1}{2}\dfrac{|E_t|^2}{\eta_2}}{\tfrac{1}{2}\dfrac{|E_i|^2}{\eta_1}} = \left|\frac{E_t}{E_i}\right|^2\frac{\eta_1}{\eta_2}.
  • Substituindo \dfrac{E_t}{E_i}=\dfrac{2\eta_2}{\eta_2+\eta_1} obtemos a expressão explícita
T_{\text{pot}}=\frac{4\eta_1\eta_2}{(\eta_1+\eta_2)^2}.
Agora aplicamos ao nosso caso: meio 1 = espaço livre com \eta_1=\eta_0. Meio 2 é não magnético e sem perdas, então \eta_2=\sqrt{\dfrac{\mu_2}{\varepsilon_2}}=\dfrac{\eta_0}{\sqrt{\varepsilon_r}} (porque \mu_2=\mu_0 e \varepsilon_2=\varepsilon_r\varepsilon_0). Seja
x=\sqrt{\varepsilon_r}.
Substituindo \eta_2=\eta_0/x na expressão de T_{\text{pot}}:
T_{\text{pot}}=\frac{4x}{(x+1)^2}.
Temos T_{\text{pot}}=0{,}64, logo
\frac{4x}{(x+1)^2}=0{,}64.
Resolvendo essa equação:
4x=0{,}64(x+1)^2 \quad\Rightarrow\quad 0{,}64x^2-2{,}72x+0{,}64=0.
Multiplicando por 25/16 (ou simplificando por 0,08) chega-se à quadrática:
8x^2-34x+8=0.
Resolvendo:
x=\frac{34\pm\sqrt{34^2-4\cdot8\cdot8}}{16}=\frac{34\pm\sqrt{900}}{16}=\frac{34\pm30}{16}.
Duas soluções: x=4 ou x=\tfrac{1}{4}=0{,}25. Como \varepsilon_r=x^2 e materiais dielétricos usuais têm \varepsilon_r\ge1, descartamos x=0{,}25. Portanto
x=4\quad\Rightarrow\quad \varepsilon_r=x^2=16.

Passo 3

Determinar as amplitudes dos campos elétricos (teoria e cálculo passo-a-passo).
  • Primeiro calculemos o coeficiente de reflexão de campo elétrico \Gamma com \eta_1=\eta_0 e \eta_2=\eta_0/x=\eta_0/4:
\Gamma=\frac{\eta_2-\eta_1}{\eta_2+\eta_1}=\frac{\tfrac{\eta_0}{4}-\eta_0}{\tfrac{\eta_0}{4}+\eta_0} =\frac{\tfrac{-3\eta_0}{4}}{\tfrac{5\eta_0}{4}}=-\frac{3}{5}=-0{,}6.
  • O coeficiente de transmissão de campo (no limite imediato ao transmissor) é
\frac{E_t}{E_i}=1+\Gamma=\tau=\frac{2\eta_2}{\eta_2+\eta_1}=1-0{,}6=0{,}4.
(obs.: também vale E_t/E_i=2\eta_2/(\eta_2+\eta_1), que dá o mesmo número.)
  • A onda refletida tem amplitude E_r=\Gamma E_i. Como \Gamma é negativo, a refletida possui mudança de fase de \pi.
Agora usamos a informação do enunciado sobre o máximo do campo elétrico no espaço livre:
  • A região do espaço livre contém a superposição da incidente e da refletida; o valor máximo (ponto de interferência construtiva) é
E_{\max}=|E_i|+|E_r|=|E_i|(1+|\Gamma|).
Foi dado E_{\max}=320\\ \mathrm{V/m} e |\Gamma|=0{,}6. Logo
E_i=\frac{E_{\max}}{1+|\Gamma|}=\frac{320}{1{,}6}=200\\ \mathrm{V/m}.
  • Assim:
E_i=200\\ \mathrm{V/m},\qquad E_r=\Gamma E_i=-0{,}6\times200=-120\\ \mathrm{V/m}, \qquad E_t=0{,}4\times200=80\\ \mathrm{V/m}.
Aqui eu exibo sinais de fase: E_r negativo indica defasagem \pi em relação a E_i.

Passo 4

Amplitudes dos campos magnéticos (explicação e cálculo).
  • Para uma onda plana em cada meio, a relação entre amplitude do campo elétrico e do campo magnético é
H=\frac{E}{\eta}
(como fasores de amplitude). Atenção com o sinal da onda refletida: para reflexão a componente magnética sofre troca de sinal geométrica, mas aqui apresentarei as amplitudes com o sinal de fase consistente com os \Gamma obtidos.
  • No espaço livre (meio 1) \eta_1=\eta_0. No dielétrico \eta_2=\eta_0/4.
    Cálculos:
H_i=\frac{E_i}{\eta_0}=\frac{200}{\eta_0},\qquad H_r=\frac{E_r}{\eta_0}=\frac{-120}{\eta_0}, \qquad H_t=\frac{E_t}{\eta_2}=\frac{80}{\eta_0/4}=\frac{80\cdot4}{\eta_0}=\frac{320}{\eta_0}.
Usando \eta_0\approx 376{,}99\\ \Omega:
H_i\approx\frac{200}{376{,}99}\approx0{,}5305\\ \mathrm{A/m},
H_r\approx\frac{-120}{376{,}99}\approx-0{,}3183\\ \mathrm{A/m},
H_t\approx\frac{320}{376{,}99}\approx0{,}8488\\ \mathrm{A/m}.
O sinal negativo em H_r indica a direção oposta (consistente com a onda refletida).

Passo 5

Distância para variação de fase de 60^\circ no espaço livre (passo-a-passo).
  • A variação de fase ao propagar-se uma distância d é \Delta\varphi=\beta d, onde \beta é a constante de fase:
\beta=\frac{2\pi}{\lambda},\qquad \lambda=\frac{c}{f}.
  • Com f=100\\ \mathrm{MHz} e c\approx3{,}0\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}:
\lambda=\frac{3{,}0\times10^{8}}{100\times10^{6}}=3{,}0\\ \mathrm{m}, \qquad \beta=\frac{2\pi}{3}\\ \mathrm{rad/m}.
  • Queremos \Delta\varphi=60^\circ=\tfrac{\pi}{3}\\ \mathrm{rad}. Logo
d=\frac{\Delta\varphi}{\beta}=\frac{\tfrac{\pi}{3}}{2\pi/3}=\frac{1}{2}=0{,}5\\ \mathrm{m}.

Passo 6

Checagem rápida de conservação de potência (confirmação numérica).
  • Potência incidente por unidade de área:
S_i=\tfrac{1}{2}\frac{E_i^2}{\eta_0}=\tfrac{1}{2}\frac{200^2}{376{,}99}\approx53{,}05\\ \mathrm{W/m^2}.
  • Potência transmitida:
S_t=\tfrac{1}{2}\frac{E_t^2}{\eta_2}=\tfrac{1}{2}\frac{80^2}{\eta_0/4}=\tfrac{1}{2}\frac{6400\cdot4}{376{,}99}\approx33{,}95\\ \mathrm{W/m^2}.
Relação S_t/S_i\approx33{,}95/53{,}05\approx0{,}64, consistente com o enunciado. Tudo bate.

Resposta

(a) \varepsilon_r=16
(b) E_i=200\\ \mathrm{V/m},\quad E_r=-120\\ \mathrm{V/m},\quad E_t=80\\ \mathrm{V/m}
(c) H_i\approx0{,}5305\\ \mathrm{A/m},\quad H_r\approx-0{,}3183\\ \mathrm{A/m},\quad H_t\approx0{,}8488\\ \mathrm{A/m}
(d) d=0{,}5\\ \mathrm{m}

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