Uma OPU com f=100 \mathrm{MHz} propaga-se no espaço livre e incide perpendicularmente num blaco de um material dielétrico sem perdas, não magnético, com espessura infinita Sabe-se que 64 \% da potência incidente são transmitidos para o dielétrico. Além disso, verificou-se que o valor máximo do campo elétrico no espaço livre é de 320 \mathrm{~V} / \mathrm{m}.
Determinar:
(1.0) a) a permissividade relativa do material dielétrico;
(2.0) b) as amplitudes do campo elétrico das ondas incidente, refletida e transmitida;
(4.0) c) as amplitudes do campo magnético das ondas incidente, refletida e transmitida;
(1.0) d) a distância que a onda deve percorrer no espaço livre para que sua fase varie de 60^{\circ}.
Passo 1
Vamos organizar o que o enunciado nos deu e o que pede. Dados fornecidos:
frequência: \,f=100\\ \mathrm{MHz}.
meio de incidência: espaço livre (meio 1), meio transmitido: dielétrico sem perdas, não magnético, espessura infinita (meio 2).
fração da potência incidente que é transmitida para o dielétrico: \,T_{\text{pot}}=0{,}64 (ou seja 64\%).
valor máximo do campo elétrico no espaço livre (resultado da superposição incidente + refletida): \,E_{\max}=320\\ \mathrm{V/m}.
O que o problema pede:
(a) determinar a permissividade relativa \varepsilon_r do dielétrico;
(b) amplitudes do campo elétrico das ondas incidente, refletida e transmitida (E_i,\;E_r,\;E_t);
(c) amplitudes do campo magnético das ondas incidente, refletida e transmitida (H_i,\;H_r,\;H_t);
(d) distância no espaço livre para que a fase varie 60^\circ.
Constantes úteis que usaremos:
velocidade da luz no vácuo: \,c\approx 3{,}0\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}.
impedância característica do espaço livre: \,\eta_0=120\pi\approx 376{,}99\\ \Omega.
Passo 2
Relação entre fração de potência transmitida e impedâncias (teoria básica, passo-a-passo).
Para onda plana incidente normalmente entre meios com impedâncias \eta_1 (meio 1) e \eta_2 (meio 2), os coeficientes de reflexão e transmissão de campo elétrico são:
A densidade média de potência (valor médio do vetor de Poynting) para uma onda plana em meio lossless é \,S=\tfrac{1}{2}\dfrac{|E|^2}{\eta}. Assim a fração de potência transmitida (potência transmitida sobre potência incidente) é
Agora aplicamos ao nosso caso: meio 1 = espaço livre com \eta_1=\eta_0. Meio 2 é não magnético e sem perdas, então \eta_2=\sqrt{\dfrac{\mu_2}{\varepsilon_2}}=\dfrac{\eta_0}{\sqrt{\varepsilon_r}} (porque \mu_2=\mu_0 e \varepsilon_2=\varepsilon_r\varepsilon_0). Seja
x=\sqrt{\varepsilon_r}.
Substituindo \eta_2=\eta_0/x na expressão de T_{\text{pot}}:
Duas soluções: x=4 ou x=\tfrac{1}{4}=0{,}25. Como \varepsilon_r=x^2 e materiais dielétricos usuais têm \varepsilon_r\ge1, descartamos x=0{,}25. Portanto
x=4\quad\Rightarrow\quad \varepsilon_r=x^2=16.
Passo 3
Determinar as amplitudes dos campos elétricos (teoria e cálculo passo-a-passo).
Primeiro calculemos o coeficiente de reflexão de campo elétrico \Gamma com \eta_1=\eta_0 e \eta_2=\eta_0/x=\eta_0/4:
Aqui eu exibo sinais de fase: E_r negativo indica defasagem \pi em relação a E_i.
Passo 4
Amplitudes dos campos magnéticos (explicação e cálculo).
Para uma onda plana em cada meio, a relação entre amplitude do campo elétrico e do campo magnético é
H=\frac{E}{\eta}
(como fasores de amplitude). Atenção com o sinal da onda refletida: para reflexão a componente magnética sofre troca de sinal geométrica, mas aqui apresentarei as amplitudes com o sinal de fase consistente com os \Gamma obtidos.
No espaço livre (meio 1) \eta_1=\eta_0. No dielétrico \eta_2=\eta_0/4.
Cálculos: