Um condutor tubular de cobre ( \sigma=5,8 \times 10^{7} \mathrm{~S} / \mathrm{m} e \mu_{\mathrm{r}}=1 ) com 7,62 \mathrm{~m} de comprimento tem seção circular com raio interno r_{\mathrm{int}}=5 \mathrm{~mm} e raio externo r_{\mathrm{ext}}=10 \mathrm{~mm}. Sabendo que o condutor transporta uma corrente dada por i(t)=20 \cos \left(2 \pi \times 10^{5} t\right)[\mathrm{A}], calcular a potência média (ou potência ativa) perdida por efeito Joule ao longo de todo o comprimento do condutor.

Passo 1

O enunciado dá um condutor tubular de cobre e pede a potência média (ativa) dissipada por efeito Joule ao longo de todo o comprimento. Dados fornecidos (peguei todos do enunciado):
  • comprimento: L=7,62\\ \mathrm{m},
  • raio interno: r_{\mathrm{int}}=5\\ \mathrm{mm}=0,005\\ \mathrm{m},
  • raio externo: r_{\mathrm{ext}}=10\\ \mathrm{mm}=0,010\\ \mathrm{m},
  • condutor cobre: \sigma=5{,}8\times10^{7}\\ \mathrm{S/m} e \mu_{\mathrm{r}}=1,
  • corrente: i(t)=20\cos\!\bigl(2\pi\times10^{5}\,t\bigr)\\ \mathrm{A} (ou seja, amplitude I_0=20\\ \mathrm{A} e frequência f=10^{5}\\ \mathrm{Hz}).
O que se pede:
  • calcular a potência média (potência ativa) dissipada por efeito Joule ao longo de todo o condutor.

Passo 2

Pensamento físico e escolha do método (explicação didática e intuitiva).
  • Para corrente alternada de alta frequência aparece o efeito de skin (pele): a corrente não ocupa uniformemente toda a secção, ela se concentra numa camada de espessura chamada profundidade de penetração (skin depth) \delta junto à superfície externa do condutor.
  • Se \delta for muito menor que a espessura da parede do tubo \bigl(r_{\mathrm{ext}}-r_{\mathrm{int}}\bigr), podemos aproximar que a corrente flui numa camada de espessura \delta em torno do raio externo r_{\mathrm{ext}}. Nesse caso a resistência efetiva aumenta em relação à resistência DC porque a área útil diminui.
  • A potência média dissipada por efeito Joule para corrente senoidal é
P_{\text{média}}=I_{\mathrm{rms}}^{2}\,R_{\text{efetiva}},é
onde I_{\mathrm{rms}} é a corrente eficaz e R_{\text{efetiva}} é a resistência AC total do condutor (ao longo de todo o comprimento).
Vou primeiro calcular \delta para ver se o skin effect é importante e qual aproximação usar.

Passo 3

Fórmula da profundidade de penetração (skin depth) e definição das variáveis.
  • Para um bom condutor homogéneo, a profundidade de penetração é dada por
\delta=\sqrt{\frac{2}{\omega\mu\sigma}},
onde:
  • \omega=2\pi f é a frequência angular (rad/s),
  • \mu=\mu_0\mu_{\mathrm{r}} é a permeabilidade magnética absoluta ( \mu_0=4\pi\times10^{-7}\\ \mathrm{H/m}),
  • \sigma é a condutividade elétrica ( \mathrm{S/m}).
Calculemos passo a passo:
  • \displaystyle \omega=2\pi f=2\pi\cdot10^{5}\\ \mathrm{rad/s}.
  • \displaystyle \mu=\mu_0\mu_{\mathrm{r}}=4\pi\times10^{-7}\cdot1=4\pi\times10^{-7}\\ \mathrm{H/m}.
  • Agora calcule o produto \omega\mu\sigma:
\omega\mu\sigma=(2\pi\cdot10^{5})\cdot(4\pi\times10^{-7})\cdot(5{,}8\times10^{7}).
Avaliação numérica (mostrando contas):
\mu\sigma=(4\pi\times10^{-7})\cdot(5{,}8\times10^{7})\approx72{,}885\quad(\text{unidade implícita}),í
\omega\mu\sigma=(2\pi\cdot10^{5})\cdot72{,}885\approx4{,}579494\times10^{7}.
Portanto
\delta=\sqrt{\frac{2}{4{,}579494\times10^{7}}}\approx2{,}09\times10^{-4}\\ \mathrm{m}=0{,}209\\ \mathrm{mm}.

Passo 4

Comparação de escalas e decisão sobre a aproximação.
  • A espessura da parede do tubo é
t=r_{\mathrm{ext}}-r_{\mathrm{int}}=0{,}010-0{,}005=0{,}005\\ \mathrm{m}=5\\ \mathrm{mm}.
  • Como \delta\approx0{,}209\\ \mathrm{mm}\ll 5\\ \mathrm{mm}, a corrente fica confinada muito próxima à superfície externa. Portanto a aproximação de corrente fluindo numa camada de espessura \delta em torno de r_{\mathrm{ext}} é válida.

Passo 5

Expressão aproximada para a resistência AC total (razão física e fórmula).
  • Se a corrente estiver confinada numa camada de espessura \delta ao redor do raio externo, a área efetiva de condução transversal aproximada é
A_{\mathrm{ef}} \approx 2\pi r_{\mathrm{ext}}\cdot\delta.
  • A resistência ao longo do comprimento L é aproximadamente
R_{\text{AC}}\approx\frac{L}{\sigma A_{\mathrm{ef}}}=\frac{L}{\sigma\,(2\pi r_{\mathrm{ext}}\delta)}.
(Isto é um argumento físico simples: resistência R=\dfrac{\text{comprimento}}{\sigma\cdot\text{área}}á, usando a área reduzida pela skin depth.)

Passo 6

Calcule a corrente eficaz I_{\mathrm{rms}}.
  • A corrente é i(t)=I_0\cos(\omega t) com I_0=20\\ \mathrm{A}. Para senóide,
I_{\mathrm{rms}}=\frac{I_0}{\sqrt{2}}=\frac{20}{\sqrt{2}}=10\sqrt{2}\approx14{,}142\\ \mathrm{A}.

Passo 7

Calcule numericamente R_{\text{AC}} usando os valores:
  • Primeiro calcule 2\pi r_{\mathrm{ext}}\delta:
2\pi r_{\mathrm{ext}}\delta=2\pi\cdot0{,}010\cdot2{,}09\times10^{-4}\approx1{,}313\times10^{-5}\\ \mathrm{m^2}.
  • Multiplicar por \sigma:
\sigma\,(2\pi r_{\mathrm{ext}}\delta)\approx(5{,}8\times10^{7})\cdot1{,}313\times10^{-5}\approx7,616\times10^{2}=761{,}6.
  • Assim a resistência total fica
R_{\text{AC}}\approx\frac{L}{\sigma(2\pi r_{\mathrm{ext}}\delta)}\approx\frac{7{,}62}{761{,}6}\approx0{,}0100\\ \Omega.
(Observação: devido a arredondamentos intermediários obtém-se cerca de R_{\text{AC}}\approx0{,}01\\ \Omega.)

Passo 8

Calcule a potência média dissipada.
  • Usando P_{\text{média}}=I_{\mathrm{rms}}^{2}R_{\text{AC}}é e sabendo I_{\mathrm{rms}}^{2}=(10\sqrt{2})^{2}=200,
P_{\text{média}}=200\cdot R_{\text{AC}}\approx200\cdot0{,}0100\approx2{,}00\\ \mathrm{W}.é

Resposta

2{,}00\\ \mathrm{W}

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