Um condutor tubular de cobre (
e
) com
de comprimento tem seção circular com raio interno
e raio externo
. Sabendo que o condutor transporta uma corrente dada por
, calcular a potência média (ou potência ativa) perdida por efeito Joule ao longo de todo o comprimento do condutor.
Passo 1
O enunciado dá um condutor tubular de cobre e pede a potência média (ativa) dissipada por efeito Joule ao longo de todo o comprimento. Dados fornecidos (peguei todos do enunciado):
- comprimento:
, - raio interno:
, - raio externo:
, - condutor cobre:
e , - corrente:
(ou seja, amplitude e frequência ).
O que se pede:
- calcular a potência média (potência ativa) dissipada por efeito Joule ao longo de todo o condutor.
Passo 2
Pensamento físico e escolha do método (explicação didática e intuitiva).
- Para corrente alternada de alta frequência aparece o efeito de skin (pele): a corrente não ocupa uniformemente toda a secção, ela se concentra numa camada de espessura chamada profundidade de penetração (skin depth)
junto à superfície externa do condutor. - Se
for muito menor que a espessura da parede do tubo , podemos aproximar que a corrente flui numa camada de espessura em torno do raio externo . Nesse caso a resistência efetiva aumenta em relação à resistência DC porque a área útil diminui. - A potência média dissipada por efeito Joule para corrente senoidal é
onde
é a corrente eficaz e
é a resistência AC total do condutor (ao longo de todo o comprimento).
Vou primeiro calcular
para ver se o skin effect é importante e qual aproximação usar.
Passo 3
Fórmula da profundidade de penetração (skin depth) e definição das variáveis.
- Para um bom condutor homogéneo, a profundidade de penetração é dada por
onde:
-
é a frequência angular (rad/s), -
é a permeabilidade magnética absoluta ( ), -
é a condutividade elétrica ( ).
Calculemos passo a passo:
-
-
- Agora calcule o produto
:
Avaliação numérica (mostrando contas):
Portanto
Passo 4
Comparação de escalas e decisão sobre a aproximação.
- A espessura da parede do tubo é
- Como
, a corrente fica confinada muito próxima à superfície externa. Portanto a aproximação de corrente fluindo numa camada de espessura em torno de é válida.
Passo 5
Expressão aproximada para a resistência AC total (razão física e fórmula).
- Se a corrente estiver confinada numa camada de espessura
ao redor do raio externo, a área efetiva de condução transversal aproximada é
- A resistência ao longo do comprimento
é aproximadamente
(Isto é um argumento físico simples: resistência
, usando a área reduzida pela skin depth.)
Passo 6
Calcule a corrente eficaz
.
- A corrente é
com . Para senóide,
Passo 7
Calcule numericamente
usando os valores:
- Primeiro calcule
:
- Multiplicar por
:
- Assim a resistência total fica
(Observação: devido a arredondamentos intermediários obtém-se cerca de
.)
Passo 8
Calcule a potência média dissipada.
- Usando
e sabendo ,