Qual a origem das tensões num fluido em movimento? Que tipo de tensões podem ser aplicadas a um fluido estático?

Passo 1

O enunciado faz duas perguntas claras:
  • Pergunta A: Qual a origem das tensões num fluido em movimento?
  • Pergunta B: Que tipo de tensões podem ser aplicadas a um fluido estático?
Informações dadas (o que preciso responder): explicar de onde vêm as tensões em fluidos em movimento (físico e matemático) e dizer quais tensões existem quando o fluido está em repouso. Nenhum dado numérico foi dado — a resposta será conceitual e com exemplos simples.

Passo 2

O que é “tensão” num fluido — conceito básico e notação:
  • Num ponto do contínuo, a tensão é a força que as partículas “à volta” exercem por unidade de área sobre uma superfície imaginária. Em mecânica dos fluidos usamos o tensor de tensões de Cauchy, que em componentes se escreve \sigma_{ij}.
  • Interpretação simples: \sigma_{ij} é a i-ésima componente da força por unidade de área que atua numa face cuja normal é a direção j.
  • Distinguimos dois tipos de componentes:
    • tensões normais: componentes \sigma_{ii} (força normal à superfície);
    • tensões tangenciais (ou de cisalhamento): \sigma_{ij} com i\neq j (força tangencial à superfície).

Passo 3

Decomposição prática da tensão num fluido em movimento:
  • É muito útil separar a tensão em duas partes: \sigma_{ij} = -p\,\delta_{ij} + \tau_{ij},onde:
    • p é a pressão (escalar) — parte isotrópica que age igualmente em todas as direções;
    • \delta_{ij} é o delta de Kronecker (igual a 1 se i=j e 0 caso contrário);
    • \tau_{ij} é a tensão desviadora (deviatoric), responsável pelas tensões viscosas e pelo cisalhamento.
  • Explicação: a expressão diz que a tensão total é a pressão (que dá tensões normais iguais em todas as direções) mais um termo adicional \tau_{ij} que representa efeitos viscoelásticos/viscosos que dependem do movimento (gradientes de velocidade).

Passo 4

Origem física das duas parcelas:
  • Pressão p:
    • Origem molecular: choques e interações entre moléculas tendem a empurrar igualmente em todas as direções; macroscopicamente aparece como pressão.
    • Origem de corpo: em presença de forças de corpo (por ex. gravidade) a pressão varia espacialmente em equilíbrio hidrostaticamente.
  • Tensões viscosas \tau_{ij}:
    • Origem física: transporte de quantidade de movimento por movimento relativo de camadas adjacentes do fluido (momento linear microscópico trocado por colisões e turbulência). Quando existe um gradiente de velocidade, uma camada “arrasta” a vizinha gerando força tangencial por unidade de área — é o cisalhamento.
    • Em muitas situações práticas (fluidos newtonianos) a relação constitutiva linear é: \tau_{ij} = 2\mu\,D_{ij} + \lambda (\nabla\cdot \mathbf{v})\,\delta_{ij},onde:
      • \mu é a viscosidade dinâmica (medida da resistência ao cisalhamento);
      • \lambda é a segunda viscosidade (importante em fluido compressível);
      • \mathbf{v} é o campo velocidade;
      • D_{ij}=\tfrac{1}{2}\big(\partial_i v_j + \partial_j v_i\big) é o tensor de taxa de deformação (explica o que são os gradientes de velocidade).
    • Interpretação: as componentes de \tau_{ij} são proporcionais aos gradientes de velocidade. Se não houver gradientes, \tau_{ij}=0 (no modelo newtoniano).

Passo 5

Exemplo concreto e muito usado (Couette simples) para fixar a ideia:
  • Duas placas paralelas separadas por distância h. A placa inferior está fixa, a superior move-se com velocidade U na direção x. Em regime estacionário, o perfil de velocidade é linear: u(y) = U\,\frac{y}{h},com y medindo a distância da placa inferior.
  • O gradiente é \dfrac{du}{dy}=\dfrac{U}{h}. A tensão de cisalhamento atuando nas placas (componente \tau_{xy}) vale \tau_{xy} = \mu\,\frac{du}{dy} = \mu\,\frac{U}{h}.
  • O que isto diz, em linguagem simples: quanto maior a viscosidade \mu ou maior a diferença de velocidade U (ou menor o espaço h), maior a força tangencial por área que aparece — isto é a origem macroscópica da tensão de cisalhamento.

Passo 6

Sobre tensões normais no movimento:
  • Mesmo em movimento há sempre a pressão p (tensão normal isotrópica). Além disso, em fluidos compressíveis ou quando \nabla\cdot\mathbf{v}\neq0, as componentes normais do termo viscoso \tau_{ii} podem ser não nulas — ou seja, há “normais viscosas” além da pressão.
  • Em fluido newtoniano incompressível ( \nabla\cdot\mathbf{v}=0) é comum que as contribuições viscosas às tensões normais tenham traço zero, de modo que as tensões normais são dominadas pela pressão: \sigma_{ii}=-3p (soma das três normais) e as variações anisotrópicas são dadas por \tau_{ij} off-diagonais (cisalhamento).

Passo 7

O que um fluido em repouso pode “sustentar” — resposta direta e física:
  • Em equilíbrio estático o campo velocidade é \mathbf{v}=\mathbf{0}, logo todos os termos dependentes de gradiente de velocidade desaparecem. Assim:
    • tensões de cisalhamento internas são nulas: todas as componentes \sigma_{ij} com i\neq j são zero dentro do fluido em equilíbrio;
    • a única tensão interna é a pressão, isotrópica, que age normal a qualquer superfície. Em termos práticos, um fluido em repouso só sustenta tensões normais (a pressão) — não sustenta tensões tangenciais.
  • Consequência prática: se aplicar uma força tangencial numa superfície de um fluido em repouso (por exemplo tentar puxar o topo de um volume de líquido), o líquido começará a mover-se; não existe cisalhamento estável interno como em sólidos.

Passo 8

Exemplo hidrostaticamente útil (pressão com profundidade):
  • Em um fluido em repouso sob gravidade com z apontando para cima, a condição de equilíbrio é \frac{dp}{dz} = -\rho g,onde:
    • p é a pressão, \rho a densidade e g a aceleração da gravidade.
  • Solução simples: a pressão aumenta com a profundidade h segundo p = p_0 + \rho g h,mostrando que a única tensão interna distribuída no fluido em repouso é a pressão (variante com a profundidade).

Passo 9

Resumo prático e dicas para prova (memorização e aplicação rápida):
  • Memorize a decomposição útil \sigma_{ij} = -p\,\delta_{ij} + \tau_{ij}.
    • Em movimentos: p (pressão) + \tau_{ij} (viscosidade \propto gradientes de velocidade).
    • Em repouso: \tau_{ij}=0 e sobra só p (aplica-se normalmente a todas as direções).
  • Exemplos rápidos para escrever numa resposta de prova:
    • Fluido em movimento newtoniano incompressível: temos cisalhamento \tau_{xy}=\mu\,\partial u/\partial y.
    • Fluido em repouso: só pressão; cite a lei hidroestática \tfrac{dp}{dz}=-\rho g.

Resposta

Em um fluido em movimento as tensões têm origem em duas fontes principais: a pressão p (tensão normal isotrópica, resultante das interações/choques moleculares e das forças de corpo) e as tensões viscosas \tau_{ij} (tensões desviadoras proporcionais aos gradientes de velocidade, por transporte de momento; por exemplo \tau_{xy}=\mu\,\partial u/\partial y num fluido newtoniano).
Num fluido estático só existem tensões normais isotrópicas (a pressão); tensões de cisalhamento internas são nulas em equilíbrio (a pressão varia com a profundidade via \tfrac{dp}{dz}=-\rho g).

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