Qual a origem das tensões num fluido em movimento? Que tipo de tensões podem ser aplicadas a um fluido estático?
Passo 1
O enunciado faz duas perguntas claras:
- Pergunta A: Qual a origem das tensões num fluido em movimento?
- Pergunta B: Que tipo de tensões podem ser aplicadas a um fluido estático?
Informações dadas (o que preciso responder): explicar de onde vêm as tensões em fluidos em movimento (físico e matemático) e dizer quais tensões existem quando o fluido está em repouso. Nenhum dado numérico foi dado — a resposta será conceitual e com exemplos simples.
Passo 2
O que é “tensão” num fluido — conceito básico e notação:
- Num ponto do contínuo, a tensão é a força que as partículas “à volta” exercem por unidade de área sobre uma superfície imaginária. Em mecânica dos fluidos usamos o tensor de tensões de Cauchy, que em componentes se escreve
. - Interpretação simples:
é a -ésima componente da força por unidade de área que atua numa face cuja normal é a direção . - Distinguimos dois tipos de componentes:
- tensões normais: componentes
(força normal à superfície); - tensões tangenciais (ou de cisalhamento):
com (força tangencial à superfície).
- tensões normais: componentes
Passo 3
Decomposição prática da tensão num fluido em movimento:
- É muito útil separar a tensão em duas partes:
onde: -
é a pressão (escalar) — parte isotrópica que age igualmente em todas as direções; -
é o delta de Kronecker (igual a se e caso contrário); -
é a tensão desviadora (deviatoric), responsável pelas tensões viscosas e pelo cisalhamento.
-
- Explicação: a expressão diz que a tensão total é a pressão (que dá tensões normais iguais em todas as direções) mais um termo adicional
que representa efeitos viscoelásticos/viscosos que dependem do movimento (gradientes de velocidade).
Passo 4
Origem física das duas parcelas:
- Pressão
: - Origem molecular: choques e interações entre moléculas tendem a empurrar igualmente em todas as direções; macroscopicamente aparece como pressão.
- Origem de corpo: em presença de forças de corpo (por ex. gravidade) a pressão varia espacialmente em equilíbrio hidrostaticamente.
- Tensões viscosas
: - Origem física: transporte de quantidade de movimento por movimento relativo de camadas adjacentes do fluido (momento linear microscópico trocado por colisões e turbulência). Quando existe um gradiente de velocidade, uma camada “arrasta” a vizinha gerando força tangencial por unidade de área — é o cisalhamento.
- Em muitas situações práticas (fluidos newtonianos) a relação constitutiva linear é:
onde: -
é a viscosidade dinâmica (medida da resistência ao cisalhamento); -
é a segunda viscosidade (importante em fluido compressível); -
é o campo velocidade; -
é o tensor de taxa de deformação (explica o que são os gradientes de velocidade).
-
- Interpretação: as componentes de
são proporcionais aos gradientes de velocidade. Se não houver gradientes, (no modelo newtoniano).
Passo 5
Exemplo concreto e muito usado (Couette simples) para fixar a ideia:
- Duas placas paralelas separadas por distância
. A placa inferior está fixa, a superior move-se com velocidade na direção . Em regime estacionário, o perfil de velocidade é linear: com medindo a distância da placa inferior. - O gradiente é
. A tensão de cisalhamento atuando nas placas (componente ) vale - O que isto diz, em linguagem simples: quanto maior a viscosidade
ou maior a diferença de velocidade (ou menor o espaço ), maior a força tangencial por área que aparece — isto é a origem macroscópica da tensão de cisalhamento.
Passo 6
Sobre tensões normais no movimento:
- Mesmo em movimento há sempre a pressão
(tensão normal isotrópica). Além disso, em fluidos compressíveis ou quando , as componentes normais do termo viscoso podem ser não nulas — ou seja, há “normais viscosas” além da pressão. - Em fluido newtoniano incompressível (
) é comum que as contribuições viscosas às tensões normais tenham traço zero, de modo que as tensões normais são dominadas pela pressão: (soma das três normais) e as variações anisotrópicas são dadas por off-diagonais (cisalhamento).
Passo 7
O que um fluido em repouso pode “sustentar” — resposta direta e física:
- Em equilíbrio estático o campo velocidade é
, logo todos os termos dependentes de gradiente de velocidade desaparecem. Assim: - tensões de cisalhamento internas são nulas: todas as componentes
com são zero dentro do fluido em equilíbrio; - a única tensão interna é a pressão, isotrópica, que age normal a qualquer superfície. Em termos práticos, um fluido em repouso só sustenta tensões normais (a pressão) — não sustenta tensões tangenciais.
- tensões de cisalhamento internas são nulas: todas as componentes
- Consequência prática: se aplicar uma força tangencial numa superfície de um fluido em repouso (por exemplo tentar puxar o topo de um volume de líquido), o líquido começará a mover-se; não existe cisalhamento estável interno como em sólidos.
Passo 8
Exemplo hidrostaticamente útil (pressão com profundidade):
- Em um fluido em repouso sob gravidade com
apontando para cima, a condição de equilíbrio é onde: -
é a pressão, a densidade e a aceleração da gravidade.
-
- Solução simples: a pressão aumenta com a profundidade
segundo mostrando que a única tensão interna distribuída no fluido em repouso é a pressão (variante com a profundidade).
Passo 9
Resumo prático e dicas para prova (memorização e aplicação rápida):
- Memorize a decomposição útil
- Em movimentos:
(pressão) + (viscosidade gradientes de velocidade). - Em repouso:
e sobra só (aplica-se normalmente a todas as direções).
- Em movimentos:
- Exemplos rápidos para escrever numa resposta de prova:
- Fluido em movimento newtoniano incompressível: temos cisalhamento
. - Fluido em repouso: só pressão; cite a lei hidroestática
.
- Fluido em movimento newtoniano incompressível: temos cisalhamento
Resposta
Em um fluido em movimento as tensões têm origem em duas fontes principais: a pressão
(tensão normal isotrópica, resultante das interações/choques moleculares e das forças de corpo) e as tensões viscosas
(tensões desviadoras proporcionais aos gradientes de velocidade, por transporte de momento; por exemplo
num fluido newtoniano).
Num fluido estático só existem tensões normais isotrópicas (a pressão); tensões de cisalhamento internas são nulas em equilíbrio (a pressão varia com a profundidade via ).
Num fluido estático só existem tensões normais isotrópicas (a pressão); tensões de cisalhamento internas são nulas em equilíbrio (a pressão varia com a profundidade via