0.2.1. Ortogonalidade

Consideremos um espaço vetorial V com um produto interno <,>. Dizemos que dois vetores \mathrm{u}, \mathrm{v} \in \mathrm{V} são ortogonais quando <\mathrm{u}, \mathrm{v}>=0 e denotamos a ortogonalidade entre eles como \mathrm{u} \perp \mathrm{v}.
Se tivermos um conjunto com n vetores, ortogonais dois a dois, ele é chamado de ortogonal.
Exercício Verifique quais pares de vetores do \mathbb{R}^{2} são ortogonais: \mathrm{u}_{1}=(1,2), \mathrm{u}_{2}=(-1,3), \mathrm{u}_{3}=(3,1) \mathrm{e} \mathrm{u}_{4}=(2,4).

Passo 1

O enunciado pede para verificar, no espaço vetorial \mathbb{R}^2 com o produto interno usual, quais dos vetores
u_1=(1,2),\quad u_2=(-1,3),\quad u_3=(3,1),\quad u_4=(2,4)
são ortogonais entre si. Vamos precisar da definição de produto interno no \mathbb{R}^2 e da condição de ortogonalidade.

Passo 2

No \mathbb{R}^2, o produto interno entre u=(x_1,x_2) e v=(y_1,y_2) é dado por
\langle u,v\rangle = x_1y_1 + x_2y_2.
E dois vetores são ortogonais se, e somente se, \langle u,v\rangle = 0.

Passo 3

Calculamos os produtos internos para todos os pares i<j: \langle u_1,u_2\rangle = 1\cdot(-1) + 2\cdot3 = -1 + 6 = 5, \langle u_1,u_3\rangle = 1\cdot3 + 2\cdot1 = 3 + 2 = 5, \langle u_1,u_4\rangle = 1\cdot2 + 2\cdot4 = 2 + 8 = 10, \langle u_2,u_3\rangle = (-1)\cdot3 + 3\cdot1 = -3 + 3 = 0, \langle u_2,u_4\rangle = (-1)\cdot2 + 3\cdot4 = -2 + 12 = 10, \langle u_3,u_4\rangle = 3\cdot2 + 1\cdot4 = 6 + 4 = 10.

Passo 4

A única conta que deu zero é
\langle u_2,u_3\rangle = 0,
logo o único par ortogonal é (u_2,u_3).

Resposta

O único par de vetores ortogonais é
u_2 \perp u_3.

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