Seja
uma base ortonormal de um espaço vetorial
com produto interno. Mostre que se w é
vetor de
, então
.
Passo 1
O enunciado diz que
é uma base ortonormal de um espaço com produto interno e pede para mostrar que, para todo vetor
,
O conteúdo aqui é a expansão de um vetor em base ortonormal (teorema da projeção) e a aplicação da bilinearidade e simetria do produto interno, além da propriedade de ortonormalidade
.
Passo 2
Como
é base ortonormal e completa, qualquer
pode ser escrito como combinação linear de projetores:
Aqui
é justamente a coordenada de
na direção de
.
Passo 3
Agora calculamos a norma ao quadrado de
usando o produto interno:
Passo 4
Como a base é ortonormal, vale
, que é
se
e
se
. Logo, no duplo somatório só sobrevivem os termos com
: