Seja \left\{v_{1}, v_{2}, v_{3}\right\} uma base ortonormal de um espaço vetorial V com produto interno. Mostre que se w é u m vetor de V, então \|w\|^{2}=\left\langle w, v_{1}\right\rangle^{2}+\left\langle w, v_{2}\right\rangle^{2}+\left\langle w, v_{3}\right\rangle^{2}.

Passo 1

O enunciado diz que \{v_{1},v_{2},v_{3}\} é uma base ortonormal de um espaço com produto interno e pede para mostrar que, para todo vetor w\in V,
\|w\|^{2} \;=\;\langle w,v_{1}\rangle^{2}+\langle w,v_{2}\rangle^{2}+\langle w,v_{3}\rangle^{2}.
O conteúdo aqui é a expansão de um vetor em base ortonormal (teorema da projeção) e a aplicação da bilinearidade e simetria do produto interno, além da propriedade de ortonormalidade \langle v_{i},v_{j}\rangle=\delta_{ij}.

Passo 2

Como \{v_{1},v_{2},v_{3}\} é base ortonormal e completa, qualquer w\in V pode ser escrito como combinação linear de projetores:
w \;=\; \sum_{i=1}^{3}\langle w,v_{i}\rangle\,v_{i}.
Aqui \langle w,v_{i}\rangle é justamente a coordenada de w na direção de v_{i}.

Passo 3

Agora calculamos a norma ao quadrado de w usando o produto interno:
\|w\|^{2} \;=\;\langle w,w\rangle \;=\;\biggl\langle \sum_{i=1}^{3}\langle w,v_{i}\rangle v_{i},\;\sum_{j=1}^{3}\langle w,v_{j}\rangle v_{j}\biggr\rangle \;=\;\sum_{i=1}^{3}\sum_{j=1}^{3}\langle w,v_{i}\rangle\,\langle w,v_{j}\rangle\,\langle v_{i},v_{j}\rangle.

Passo 4

Como a base é ortonormal, vale \langle v_{i},v_{j}\rangle=\delta_{ij}, que é 1 se i=j e 0 se i\neq j. Logo, no duplo somatório só sobrevivem os termos com i=j:
\|w\|^{2} =\sum_{i=1}^{3}\langle w,v_{i}\rangle\,\langle w,v_{i}\rangle =\sum_{i=1}^{3}\langle w,v_{i}\rangle^{2}.

Resposta

\|w\|^{2} \;=\;\langle w,v_{1}\rangle^{2}+\langle w,v_{2}\rangle^{2}+\langle w,v_{3}\rangle^{2}.

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