Um oscilador harmônico amortecido sob a influência de uma força externa periódica
obedece à equação diferencial:
Supondo uma solução de estado estacionário, resolva o problema pelo método das séries de Fourier.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que ele nos dá.
- Pede: encontrar a solução de estado estacionário (resposta permanente) da equação
onde
é uma força externa periódica. Ou seja: determinar
que permanece após os transientes terem morrido.
- Informações dadas (implícitas):
, , , e é -periódica (tem período ). Definimos . - O enunciado pede aplicar o método das séries de Fourier: então vamos escrever
como série trigonométrica e usar linearidade para achar a resposta a cada harmônico, somando depois.
Passo 2
Relembrando a série de Fourier (a ferramenta que vamos usar) — ideia e fórmulas.
- Qualquer função
-periódica razoável pode ser escrita como
onde
.
- Os coeficientes são dados por (fórmulas que você usaria na prova):
para
, e
- Intuição rápida: cada termo
ou é um “tom” da força; por linearidade da equação, a resposta total é soma das respostas a cada tom.
Passo 3
Escolha do ansatz para a solução de estado estacionário e por que isso é válido.
- Em estado estacionário o termo homogêneo (transientes) já se extinguiu graças ao amortecimento
; resta a solução particular periódica com o mesmo período de . - Vamos procurar
na forma de série com os mesmos harmônicos:
onde
são constantes a determinar. Essa é a forma natural por linearidade.
Passo 4
Tratar separadamente o termo constante (
) — componente média de
.
- Extraímos o termo constante de
:
- Substituindo uma solução constante
na equação:
- Logo
(Isto é razoável: força constante desloca o equilíbrio por
.)
Passo 5
Agora trate um harmônico genérico
. Escrevemos para
o termo correspondente:
Procuramos a resposta do mesmo formato
Passo 6
Calcular derivadas de
e montar a equação para os coeficientes (passo a passo).
- Derivadas (lembre-se: tudo em termos de
e ):
- Substituindo em
e coletando coeficientes de e :
coeficiente de:
coeficiente de
:
Passo 7
Resolver o sistema linear para [\alpha_n) e
.
- Defina, por simplicidade,
- O sistema fica
- Determinante: ):
- Estas fórmulas são explícitas e prontas para uso: dado
calculados pela integral, obtém-se .]
Passo 8
Forma alternativa em amplitude e fase (intuitiva): para cada harmônico.
- O termo de força tem amplitude
e fase (ou seja ). - A resposta tem amplitude reduzida por um fator
e defasagem relativa determinada por . - Podemos escrever a contribuição como
onde
(Se preferir calcular numericamente, use as expressões de
e então
,
.)
Passo 9
Observações físicas importantes (úteis na prova; comportamento qualitativo).
- Denominador
é a quantidade que controla amplitude. Quando (isto é, ) a amplitude pode crescer (ressonância), mas o amortecimento limita esse pico. - A fase entre entrada e saída depende de
: para baixas frequências a resposta está quase em fase com a força; para altas frequências há defasagem próxima de (sinal invertido). - Transientes: a solução geral é
. O homogeneo decai exponencialmente se , por isso só resta em longo prazo.
Passo 10
Resumo final da solução de estado estacionário (juntando o termo constante e os harmônicos).
- Colocando tudo junto:
com
,
,
e os
obtidos pela série de Fourier de
.
- Esta é a resposta periódica (estado estacionário). É só calcular os
por integração e substituir nas fórmulas acima.
Resposta
onde