Um oscilador harmônico amortecido sob a influência de uma força externa periódica f(t) obedece à equação diferencial:
m \ddot{x}+\lambda \dot{x}+k x=f(t)
Supondo uma solução de estado estacionário, resolva o problema pelo método das séries de Fourier.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que ele nos dá.
  • Pede: encontrar a solução de estado estacionário (resposta permanente) da equação
m\ddot{x}+\lambda\dot{x}+k x=f(t),
onde f(t) é uma força externa periódica. Ou seja: determinar x_{\text{ss}}(t) que permanece após os transientes terem morrido.
  • Informações dadas (implícitas): m>0, \lambda\ge0, k>0, e f(t) é T-periódica (tem período T). Definimos \omega=\dfrac{2\pi}{T}.
  • O enunciado pede aplicar o método das séries de Fourier: então vamos escrever f(t) como série trigonométrica e usar linearidade para achar a resposta a cada harmônico, somando depois.

Passo 2

Relembrando a série de Fourier (a ferramenta que vamos usar) — ideia e fórmulas.
  • Qualquer função T-periódica razoável f(t) pode ser escrita como
f(t)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\bigl[a_n\cos(n\omega t)+b_n\sin(n\omega t)\bigr],
onde \omega=\dfrac{2\pi}{T}.
  • Os coeficientes são dados por (fórmulas que você usaria na prova):
a_n=\frac{2}{T}\int_{0}^{T}f(t)\cos(n\omega t)\,dt,\qquad b_n=\frac{2}{T}\int_{0}^{T}f(t)\sin(n\omega t)\,dt,
para n\ge1, e
a_0=\frac{2}{T}\int_{0}^{T}f(t)\,dt.
  • Intuição rápida: cada termo \cos(n\omega t) ou \sin(n\omega t) é um “tom” da força; por linearidade da equação, a resposta total é soma das respostas a cada tom.

Passo 3

Escolha do ansatz para a solução de estado estacionário e por que isso é válido.
  • Em estado estacionário o termo homogêneo (transientes) já se extinguiu graças ao amortecimento \lambda>0; resta a solução particular periódica com o mesmo período de f.
  • Vamos procurar x_{\text{ss}}(t) na forma de série com os mesmos harmônicos:
x_{\text{ss}}(t)=X_0+\sum_{n=1}^{\infty}\bigl[\alpha_n\cos(n\omega t)+\beta_n\sin(n\omega t)\bigr],
onde X_0,\alpha_n,\beta_n são constantes a determinar. Essa é a forma natural por linearidade.

Passo 4

Tratar separadamente o termo constante ( n=0) — componente média de f(t).
  • Extraímos o termo constante de f:
f_{\text{DC}}=\frac{a_0}{2}.
  • Substituindo uma solução constante x=X_0 na equação:
m\cdot 0+\lambda\cdot 0 + k X_0 = \frac{a_0}{2}.
  • Logo
X_0=\frac{a_0}{2k}.
(Isto é razoável: força constante desloca o equilíbrio por f/k.)

Passo 5

Agora trate um harmônico genérico n\ge1. Escrevemos para f o termo correspondente:
f_n(t)=a_n\cos(n\omega t)+b_n\sin(n\omega t).
Procuramos a resposta do mesmo formato
x_n(t)=\alpha_n\cos(n\omega t)+\beta_n\sin(n\omega t).

Passo 6

Calcular derivadas de x_n(t) e montar a equação para os coeficientes (passo a passo).
  • Derivadas (lembre-se: tudo em termos de n e \omega):
\dot{x}_n(t)=-\alpha_n n\omega\sin(n\omega t)+\beta_n n\omega\cos(n\omega t),
\ddot{x}_n(t)=-\alpha_n n^2\omega^2\cos(n\omega t)-\beta_n n^2\omega^2\sin(n\omega t).
  • Substituindo em m\ddot{x}+\lambda\dot{x}+kx=f e coletando coeficientes de \cos(n\omega t) e \sin(n\omega t):
    coeficiente de \cos(n\omega t):
\bigl(k-mn^2\omega^2\bigr)\alpha_n + \bigl(\lambda n\omega\bigr)\beta_n = a_n.
coeficiente de \sin(n\omega t):
-\bigl(\lambda n\omega\bigr)\alpha_n + \bigl(k-mn^2\omega^2\bigr)\beta_n = b_n.

Passo 7

Resolver o sistema linear para [\alpha_n) e \beta_n.
  • Defina, por simplicidade,
A_n=k-mn^2\omega^2,\qquad B_n=\lambda n\omega.
  • O sistema fica
\begin{cases} A_n\alpha_n + B_n\beta_n = a_n,\\[4pt] - B_n\alpha_n + A_n\beta_n = b_n. \end{cases}
  • Determinante: D_n=A_n^2+B_n^2\] (positivo salvo caso degenerado). - Inversão (faça você na prova aplicando fórmula da inversa de matriz \(2\times2):
\alpha_n=\frac{A_n a_n + B_n b_n}{A_n^2+B_n^2}, \qquad \beta_n=\frac{A_n b_n - B_n a_n}{A_n^2+B_n^2}.
  • Estas fórmulas são explícitas e prontas para uso: dado a_n,b_n calculados pela integral, obtém-se \alpha_n,\beta_n.]

Passo 8

Forma alternativa em amplitude e fase (intuitiva): para cada harmônico.
  • O termo de força tem amplitude F_n=\sqrt{a_n^2+b_n^2} e fase \delta_n=\operatorname{atan2}(b_n,a_n) (ou seja a_n=F_n\cos\delta_n,\;b_n=F_n\sin\delta_n).
  • A resposta tem amplitude reduzida por um fator \dfrac{1}{\sqrt{A_n^2+B_n^2}} e defasagem relativa determinada por A_n,B_n.
  • Podemos escrever a contribuição como
x_n(t)=R_n\cos\bigl(n\omega t-\phi_n\bigr),
onde
R_n=\frac{F_n}{\sqrt{A_n^2+B_n^2}},\qquad \phi_n=\delta_n-\arctan\!\biggl(\frac{B_n}{A_n}\biggr).
(Se preferir calcular numericamente, use as expressões de \alpha_n,\beta_n e então R_n=\sqrt{\alpha_n^2+\beta_n^2}, \phi_n=\operatorname{atan2}(\beta_n,\alpha_n).)

Passo 9

Observações físicas importantes (úteis na prova; comportamento qualitativo).
  • Denominador A_n^2+B_n^2=(k-mn^2\omega^2)^2+(\lambda n\omega)^2 é a quantidade que controla amplitude. Quando mn^2\omega^2\approx k (isto é, n\omega\approx\sqrt{k/m}) a amplitude pode crescer (ressonância), mas o amortecimento \lambda limita esse pico.
  • A fase entre entrada e saída depende de \arctan(B_n/A_n): para baixas frequências a resposta está quase em fase com a força; para altas frequências há defasagem próxima de \pi (sinal invertido).
  • Transientes: a solução geral é x(t)=x_{\text{ss}}(t)+x_{\text{hom}}(t). O homogeneo decai exponencialmente se \lambda>0, por isso só resta x_{\text{ss}}(t) em longo prazo.

Passo 10

Resumo final da solução de estado estacionário (juntando o termo constante e os harmônicos).
  • Colocando tudo junto:
x_{\text{ss}}(t)=\frac{a_0}{2k}+\sum_{n=1}^{\infty}\Biggl[\frac{A_n a_n + B_n b_n}{A_n^2+B_n^2}\cos(n\omega t) +\frac{A_n b_n - B_n a_n}{A_n^2+B_n^2}\sin(n\omega t)\Biggr],
com \omega=\dfrac{2\pi}{T}, A_n=k-mn^2\omega^2, B_n=\lambda n\omega e os a_n,b_n obtidos pela série de Fourier de f(t).
  • Esta é a resposta periódica (estado estacionário). É só calcular os a_n,b_n por integração e substituir nas fórmulas acima.

Resposta

x_{\text{ss}}(t)=\frac{a_0}{2k}+\sum_{n=1}^{\infty}\left[\frac{(k-mn^2\omega^2)\,a_n + (\lambda n\omega)\,b_n}{(k-mn^2\omega^2)^2+(\lambda n\omega)^2}\cos(n\omega t) +\frac{(k-mn^2\omega^2)\,b_n - (\lambda n\omega)\,a_n}{(k-mn^2\omega^2)^2+(\lambda n\omega)^2}\sin(n\omega t)\right],
onde
\omega=\frac{2\pi}{T},\qquad a_n=\frac{2}{T}\int_{0}^{T}f(t)\cos(n\omega t)\,dt,\qquad b_n=\frac{2}{T}\int_{0}^{T}f(t)\sin(n\omega t)\,dt.

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