Um dado movimento harmônico obedece a seguinte equação diferencial:
onde
depende do tempo (
) fornece a posição em função do tempo,
e
são constantes. Expressando
em série complexa de Fourier, encontre
em função da frequência
e das constantes acima. Separe a parte real de
.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial linear de segunda ordem não-homogênea
onde
é posição,
e
são constantes. As perguntas implícitas são:
- Expressar a solução no domínio das frequências (ou seja, obter a transformada/coeficientes em função da frequência
) assumindo representação por série/transformada de Fourier complexa. - Obter
no domínio do tempo a partir dessa representação (inversa) e separar a parte real de .
Informações relevantes dadas:
- Força/excitacão do lado direito é
(função não-periódica, mas será tratada via transformada de Fourier). - A equação é linear com coeficientes constantes, logo solução geral = solução homogênea + uma solução particular.
- Não foram fornecidas condições iniciais, portanto a solução conterá constantes arbitrárias associadas à solução homogênea.
Passo 2
Escolha do método e convenções de Fourier (explicação didática).
- Vou usar a convenção de transformada de Fourier mais comum para problemas de ODE:
Esta escolha é conveniente porque transformada de derivadas é simples:
.
- Propriedade útil: a transformada de
(função força) é dada por
onde
é a derivada da delta de Dirac. Também usarei a propriedade
para qualquer função teste
suficientemente suave.
- Observação física: a transformada fornece a solução particular associada ao forçamento; a solução homogênea aparece no domínio das frequências como termos proporcionais a
(picos nas frequências próprias) e corresponde às constantes determinados pelas condições iniciais.
Passo 3
Aplicar a transformada de Fourier à equação dada.
- Transformando termo a termo:
- Usando
e , e , obtemos
- Portanto, isolando
,
- Importante: essa expressão dá a transformada associada à solução particular. A transformada completa da solução geral pode ainda conter termos singulares em
(componentes da solução homogênea). Assim, a forma geral mais completa no domínio das frequências é
onde
e
são constantes complexas determinadas por condições iniciais.
Passo 4
Voltar ao domínio do tempo: cálculo da transformada inversa da parte particular (explicação e cálculo passo a passo).
- A parte particular no domínio do tempo é dada por
- Use a propriedade da delta derivada: para
,
- Calcule
. Primeiro
Derivando,
Avalie em
:
- Portanto
- Substituindo na expressão de
:
- Conclusão importante: a transformada forneceu a solução particular simples
.
Passo 5
Recuperar a solução geral no tempo (soma da homogênea com particular) e interpretar os termos de frequência.
- A solução homogênea da equação
é
com
e
constantes reais (determinado por condições iniciais).
- Em termos de transformada,
corresponde a termos proporcionais a : isso explica os termos em . - Assim a solução geral da equação original é
onde
(ou, equivalentemente, escrever com expoentes complexos como combinação linear de
).
Passo 6
Separar a parte real de
e dar formas equivalentes (didática sobre interpretação).
- A expressão acima já é real e mostra explicitamente a parte real da solução: a primeira duas parcelas (cosseno e seno) são funções reais; a terceira é uma rampa real.
- Alternativamente, em forma de exponenciais complexas pode-se escrever a parte homogênea como a parte real de
(com complexo):
e então a parte real é obtida pela operação
. Mas a forma com
e
é a mais direta e já é a separação da parte real.