Um dado movimento harmônico obedece a seguinte equação diferencial:
\ddot{x}+\alpha^{2} x=a t
onde x depende do tempo ( x(t) ) fornece a posição em função do tempo, \alpha e a são constantes. Expressando x(t) em série complexa de Fourier, encontre x(t) em função da frequência w e das constantes acima. Separe a parte real de x(t).

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial linear de segunda ordem não-homogênea
\ddot{x}+\alpha^{2}x = a t,
onde x=x(t) é posição, \alpha e a são constantes. As perguntas implícitas são:
  • Expressar a solução no domínio das frequências (ou seja, obter a transformada/coeficientes em função da frequência \omega) assumindo representação por série/transformada de Fourier complexa.
  • Obter x(t) no domínio do tempo a partir dessa representação (inversa) e separar a parte real de x(t).
Informações relevantes dadas:
  • Força/excitacão do lado direito é f(t)=a t (função não-periódica, mas será tratada via transformada de Fourier).
  • A equação é linear com coeficientes constantes, logo solução geral = solução homogênea + uma solução particular.
  • Não foram fornecidas condições iniciais, portanto a solução conterá constantes arbitrárias associadas à solução homogênea.

Passo 2

Escolha do método e convenções de Fourier (explicação didática).
  • Vou usar a convenção de transformada de Fourier mais comum para problemas de ODE:
X(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty} x(t)\,e^{-i\omega t}\,dt, \qquad x(t)=\dfrac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} X(\omega)\,e^{i\omega t}\,d\omega.
Esta escolha é conveniente porque transformada de derivadas é simples: \mathcal{F}\{\ddot{x}\} = -\omega^{2}X(\omega).
  • Propriedade útil: a transformada de t (função força) é dada por
\mathcal{F}\{t\} = 2\pi i\,\delta'(\omega),
onde \delta'(\omega) é a derivada da delta de Dirac. Também usarei a propriedade
\int_{-\infty}^{\infty}\delta'(\omega)\,\varphi(\omega)\,d\omega = -\varphi'(0)
para qualquer função teste \varphi suficientemente suave.
  • Observação física: a transformada fornece a solução particular associada ao forçamento; a solução homogênea aparece no domínio das frequências como termos proporcionais a \delta(\omega\pm\alpha) (picos nas frequências próprias) e corresponde às constantes determinados pelas condições iniciais.

Passo 3

Aplicar a transformada de Fourier à equação dada.
  • Transformando termo a termo:
\mathcal{F}\{\ddot{x}\} + \alpha^{2}\mathcal{F}\{x\} = \mathcal{F}\{a t\}.
  • Usando \mathcal{F}\{\ddot{x}\} = -\omega^{2}X(\omega) e \mathcal{F}\{x\}=X(\omega), e \mathcal{F}\{a t\}=a\cdot 2\pi i\,\delta'(\omega), obtemos
(-\omega^{2}+\alpha^{2})\,X(\omega) = 2\pi i a\,\delta'(\omega).
  • Portanto, isolando X(\omega),
X(\omega)=\dfrac{2\pi i a\,\delta'(\omega)}{\alpha^{2}-\omega^{2}}.
  • Importante: essa expressão dá a transformada associada à solução particular. A transformada completa da solução geral pode ainda conter termos singulares em \omega=\pm\alpha (componentes da solução homogênea). Assim, a forma geral mais completa no domínio das frequências é
X(\omega)=\dfrac{2\pi i a\,\delta'(\omega)}{\alpha^{2}-\omega^{2}}+A\,\delta(\omega-\alpha)+B\,\delta(\omega+\alpha),
onde A e B são constantes complexas determinadas por condições iniciais.

Passo 4

Voltar ao domínio do tempo: cálculo da transformada inversa da parte particular (explicação e cálculo passo a passo).
  • A parte particular no domínio do tempo é dada por
x_{p}(t)=\dfrac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\dfrac{2\pi i a\,\delta'(\omega)}{\alpha^{2}-\omega^{2}}\,e^{i\omega t}\,d\omega = a i\int_{-\infty}^{\infty}\dfrac{\delta'(\omega)\,e^{i\omega t}}{\alpha^{2}-\omega^{2}}\,d\omega.
  • Use a propriedade da delta derivada: para \varphi(\omega)=\dfrac{e^{i\omega t}}{\alpha^{2}-\omega^{2}},
\int \delta'(\omega)\,\varphi(\omega)\,d\omega = -\varphi'(0).
  • Calcule \varphi'(\omega). Primeiro
\varphi(\omega)=e^{i\omega t}\,(\alpha^{2}-\omega^{2})^{-1}.
Derivando,
\varphi'(\omega)=e^{i\omega t}\!\left(\dfrac{i t}{\alpha^{2}-\omega^{2}}+\dfrac{2\omega}{(\alpha^{2}-\omega^{2})^{2}}\right).
Avalie em \omega=0:
\varphi'(0)=\dfrac{i t}{\alpha^{2}}+\dfrac{2\cdot 0}{\alpha^{4}}=\dfrac{i t}{\alpha^{2}}.
  • Portanto
\int \delta'(\omega)\,\varphi(\omega)\,d\omega = -\varphi'(0) = -\dfrac{i t}{\alpha^{2}}.
  • Substituindo na expressão de x_{p}(t):
x_{p}(t) = a i\left(-\dfrac{i t}{\alpha^{2}}\right) = \dfrac{a}{\alpha^{2}}\,t.
  • Conclusão importante: a transformada forneceu a solução particular simples x_{p}(t)=\dfrac{a}{\alpha^{2}}t.

Passo 5

Recuperar a solução geral no tempo (soma da homogênea com particular) e interpretar os termos de frequência.
  • A solução homogênea da equação \ddot{x}+\alpha^{2}x=0 é
x_{h}(t) = C\cos(\alpha t)+D\sin(\alpha t),
com C e D constantes reais (determinado por condições iniciais).
  • Em termos de transformada, x_{h} corresponde a termos proporcionais a \delta(\omega\pm\alpha): isso explica os termos A\delta(\omega-\alpha)+B\delta(\omega+\alpha) em X(\omega).
  • Assim a solução geral da equação original é
x(t) = C\cos(\alpha t)+D\sin(\alpha t)+\dfrac{a}{\alpha^{2}}\,t,
onde C,D\in\mathbb{R} (ou, equivalentemente, escrever com expoentes complexos como combinação linear de e^{\pm i\alpha t}).

Passo 6

Separar a parte real de x(t) e dar formas equivalentes (didática sobre interpretação).
  • A expressão acima já é real e mostra explicitamente a parte real da solução: a primeira duas parcelas (cosseno e seno) são funções reais; a terceira é uma rampa real.
  • Alternativamente, em forma de exponenciais complexas pode-se escrever a parte homogênea como a parte real de A'e^{i\alpha t} (com A' complexo):
x(t)=\Re\!\left\{A' e^{i\alpha t}\right\}+\dfrac{a}{\alpha^{2}}t,
e então a parte real é obtida pela operação \Re\{\cdot\}. Mas a forma com \cos e \sin é a mais direta e já é a separação da parte real.

Resposta

X(\omega)=\dfrac{2\pi i a\,\delta'(\omega)}{\alpha^{2}-\omega^{2}}+A\,\delta(\omega-\alpha)+B\,\delta(\omega+\alpha)
x(t)=C\cos(\alpha t)+D\sin(\alpha t)+\dfrac{a}{\alpha^{2}}\,t

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