Conclua a elaboração e resolução das equações de malha da aplicação do modelo de linha média de 180 km que alimenta uma carga de 1 ohm[45 graus]. Utilize os dados de R’, L’ e C’ fornecidos.
Linha média.
\mathrm{L}=180 \mathrm{~km}
\mathrm{R}^{\prime}=0,5 \mathrm{ohm} / \mathrm{km}
\mathrm{L}^{\prime}=1,4 \mathrm{Henri} / \mathrm{km}
\mathrm{C}^{\prime}=13 \mathrm{micro} \mathrm{F} / \mathrm{km}
Vamos calcular z para a linha média 180 km
\mathrm{z}^{\prime}=\mathrm{R}^{\prime}+\mathrm{jw} \mathrm{w}^{\prime} \mathrm{L}^{\prime}
\mathrm{z}^{\prime}=0,5+\mathrm{j} 377 \times 1,4 \mathrm{Vs}=69 \mathrm{kV}

Passo 1

O enunciado pede que eu conclua a elaboração e a resolução das equações de malha para a aplicação do modelo de linha média (modelo \pi com admitâncias nos extremos) de uma linha de 180\\ \mathrm{km} que alimenta uma carga \;1\\ \Omega\angle 45^\circ, usando os dados fornecidos. Dados fornecidos (vou listar exatamente o que temos):
\begin{aligned} &\text{Comprimento:}\quad &&\mathrm{L}=180\\ \mathrm{km},\\\ &\text{Resistência por km:}\quad &&\mathrm{R}'=0{,}5\\ \Omega/\mathrm{km},\\\ &\text{Indutância por km:}\quad &&\mathrm{L}'=1{,}4\\ \mathrm{H}/\mathrm{km},\\\ &\text{Capacitância por km:}\quad &&\mathrm{C}'=13\\ \mu\mathrm{F}/\mathrm{km},\\\ &\text{Tensão de envio (fornecida):}\quad &&V_s=69\\ \mathrm{kV},\\\ &\text{Frequência usada (implícita no enunciado):}\quad &&\omega=377\\ \mathrm{rad/s}\\ (\approx 2\pi\cdot 60\\ \mathrm{Hz}),\\\ &\text{Carga:}\quad &&Z_L=1\angle 45^\circ\\ \Omega. \end{aligned}êââãêí
O objetivo nesta resolução é:
  • montar o circuito \pi (impedância série total z e admitância shunt total Y, com Y/2 em cada extremidade);
  • escrever as equações de malha apropriadas (duas malhas que compartilham a impedância série z, substituindo o ramo paralelo na extremidade recebida por sua impedância equivalente quando necessário);
  • resolver as equações (álgebra complexa) e obter correntes e tensões relevantes (correntes de malha I_1,I_2, tensão na barra de carga V_R, corrente na carga I_{L}).
    Nada do enunciado está ambíguo quanto aos valores numéricos; vou prosseguir sem perguntar nada.

Passo 2

Primeiro passo prático: calcular a impedância por quilómetro \;z', a impedância total série \;z, e a admitância por quilómetro \;y' e admitância total \;Y.
Explicação curta do conceito (para você entender): a impedância série por unidade de comprimento \;z' combina a resistência por km e a reatância indutiva por km: para a parte indutiva usamos j\omega L'. A admitância por unidade \;y' da barreira shunt é a susceptância capacitiva j\omega C'. A impedância total série da linha é simplesmente \;z = z'\cdot L porque estamos usando o modelo de linha média (lumped \pi com série total z e shunt total Y dividido em dois). Vamos calcular.
Cálculos:
\text{(a)}\quad z' = R' + j\omega L' = 0{,}5 + j\,(377)(1{,}4).
Calculemos o termo indutivo:
377\cdot 1{,}4 = 527{,}8.
Logo
\boxed{\,z' = 0{,}5 + j\,527{,}8\\ \Omega/\mathrm{km}\,}.
Impedância série total:
\boxed{\,z = z'\cdot L = (0{,}5 + j\,527{,}8)\cdot 180 = 90 + j\,95\,004\\ \Omega\,}.
Agora a admitância por km (capacitiva):
y' = j\omega C' = j\,(377)\,(13\times 10^{-6}) = j\,0{,}00490101\\ \mathrm{S}/\mathrm{km}.
Admitância total (somando os 180\\ \mathrm{km}):
\boxed{\,Y = y' \cdot L = j\,0{,}00490101\cdot 180 = j\,0{,}88218\\ \mathrm{S}\,}.
Metade em cada extremidade (modelo \pi):
\boxed{\,Y/2 = j\,0{,}44109\\ \mathrm{S}\,}.
Finalmente a impedância do shunt em cada extremidade (impedância do ramo correspondente a Y/2):
Z_{sh/2} = \frac{1}{Y/2} = \frac{1}{j\,0{,}44109} = -j\,2{,}2679\\ \Omega.
(Explicação: a inversa de jX é -j/X.)

Passo 3

Agora redesenhamos mentalmente o circuito \pi:
  • fonte V_s ligada ao nó de envio;
  • em paralelo com a fonte ao nó de envio existe Z_{sh/2} até o neutro (terra);
  • série entre envio e recepção temos z;
  • no nó de recepção temos em paralelo Z_{sh/2} e a carga Z_L até o neutro.
Para aplicar equações de malha escolhemos duas malhas (uma “esquerda” envolvendo a fonte e o shunt esquerdo, e uma “direita” envolvendo o ramo série e o paralelo na extremidade direita). Para poder ter uma única impedância no ramo da extremidade direita quando aplicamos malhas, substituímos o paralelo de Z_L // Z_{sh/2} por sua impedância equivalente Z_{eq}. Depois podemos recuperar correntes individuais na carga e no shunt direito por divisões de corrente ou usando admitâncias.
Cálculo da impedância equivalente do ramo paralelo na extremidade direita:
Explicarei a forma mais direta: calculemos as admitâncias e depois invertamos.
Y_L = \frac{1}{Z_L},\qquad Y_{sh/2} = j\,0{,}44109.
Primeiro transformar Z_L=1\angle 45^\circ para forma retangular:
Z_L = 1\cos 45^\circ + j\,1\sin 45^\circ = 0{,}70710678 + j\,0{,}70710678\\ \Omega.
Admitância da carga:
Y_L = \frac{1}{Z_L} = 1\angle -45^\circ = 0{,}70710678 - j\,0{,}70710678\\ \mathrm{S}.
Agora a admitância equivalente do paralelo:
Y_{eq} = Y_L + Y_{sh/2} = (0{,}70710678) + j(-0{,}70710678 + 0{,}44109).
Calcule a parte imaginária:
-0{,}70710678 + 0{,}44109 = -0{,}26601678.
Logo
Y_{eq} = 0{,}70710678 - j\,0{,}26601678\\ \mathrm{S}.
Invertemos para obter Z_{eq}:
Z_{eq} = \frac{1}{Y_{eq}}.
Para inverter uma admitância complexa a+jb usamos a fórmula \dfrac{1}{a+jb}=\dfrac{a-jb}{a^2+b^2}. Aqui a=0{,}70710678,\\ b=-0{,}26601678.
Calcule a^2+b^2:
a^2+b^2 = 0{,}70710678^2 + (-0{,}26601678)^2 \approx 0{,}5 + 0{,}0708 = 0{,}5708.
Agora
Z_{eq} = \frac{0{,}70710678 + j\,0{,}26601678}{0{,}5708} \approx 1{,}2394 + j\,0{,}4657\\ \Omega.
(Observação didática: o sinal da parte imaginária no numerador fica positivo porque invertendo trocamos o sinal do j na fórmula.)
Portanto:
\boxed{\,Z_{eq} = 1{,}2394 + j\,0{,}4657\\ \Omega\,}.

Passo 4

Agora escrevemos as equações de malha. Definimos:
  • I_1: corrente de malha da malha esquerda (passando por V_s, por Z_{sh/2} esquerdo e pela impedância série z, no sentido horário);
  • I_2: corrente de malha da malha direita (passando por z e por Z_{eq} à direita, sentido horário).
Ao montar equações de malha (KVL) e considerando que a impedância série z é compartilhada, obtemos:
Equação da malha 1 (KVL, começando na fonte e seguindo o sentido do I_1):
V_s - Z_{sh/2}\,I_1 - z\,(I_1 - I_2) = 0.
Rearranjando:
\boxed{\,\bigl(Z_{sh/2} + z\bigr) I_1 - z\,I_2 = V_s\,.}
Equação da malha 2 (KVL na malha direita):
- z\,(I_2 - I_1) - Z_{eq}\,I_2 = 0,
ou
\boxed{\,z\,I_1 - \bigl(z + Z_{eq}\bigr) I_2 = 0\, .}
Essas são as duas equações de malha lineares complexas que precisamos resolver.

Passo 5

Resolver o sistema linear complexo. Vou mostrar a técnica (Cramer/eliminação simples) e executar os cálculos numéricos.
Reescrevendo o sistema matricial:
\begin{pmatrix} Z_{sh/2}+z & -z\\[4pt] z & -(z+Z_{eq}) \end{pmatrix} \begin{pmatrix}I_1\\[4pt] I_2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}V_s\\[4pt] 0\end{pmatrix}.
A partir da segunda equação temos diretamente:
z\,I_1 = (z+Z_{eq})\,I_2 \quad\Longrightarrow\quad I_1 = \frac{z+Z_{eq}}{z}\,I_2.
Substituindo na primeira equação:
\bigl(Z_{sh/2}+z\bigr)\frac{z+Z_{eq}}{z}\,I_2 - z\,I_2 = V_s.
Isolando I_2:
I_2 = \frac{V_s}{\dfrac{(Z_{sh/2}+z)(z+Z_{eq})}{z} - z }.
Fazendo uma simplificação algébrica útil:
\frac{(Z_{sh/2}+z)(z+Z_{eq})}{z} - z = (Z_{eq}+Z_{sh/2}) + \frac{Z_{sh/2}Z_{eq}}{z} - z,
mas numericamente o termo \dfrac{Z_{sh/2}Z_{eq}}{z} será muito pequeno porque z é muito grande em módulo (lembrando z tem componente indutiva enorme).
Agora substituímos os números (vou usar V_s=69\,000\\ \mathrm{V} para trabalhar em volts):
Valores recolhidos:
\begin{aligned} &z = 90 + j\,95\,004\\ \Omega,\\\ &Z_{sh/2} = -j\,2{,}2679\\ \Omega,\\\ &Z_{eq} = 1{,}2394 + j\,0{,}4657\\ \Omega,\\\ &V_s = 69\,000\\ \mathrm{V}. \end{aligned}
Calcule numericamente o denominador principal (vou mostrar a ideia e dar o resultado aproximado, porque envolve aritmética complexa detalhada; eu mantive precisão adequada para resultados finais):
Aproximando o termo pequeno \dfrac{Z_{sh/2}Z_{eq}}{z}\approx 0 (justificado porque |z|\approx 95\\ \mathrm{k}\Omega e |Z_{sh/2}Z_{eq}| é da ordem de unidade), temos
D \approx Z_{eq}+Z_{sh/2} - z.
Calculando:
Z_{eq}+Z_{sh/2} = (1{,}2394 + j\,0{,}4657) + (0 - j\,2{,}2679) = 1{,}2394 - j\,1{,}8022.
Então
D \approx 1{,}2394 - j\,1{,}8022 - (90 + j\,95\,004) = -88{,}7606 - j\,95\,005{,}8022.
Logo
I_2 \approx \frac{69\,000}{-88{,}7606 - j\,95\,005{,}8022}.
Agora convertemos para forma polar para obter magnitude e ângulo:
  • módulo do denominador \approx 95\,005{,}8.
  • ângulo do denominador \theta_D \approx -90{,}0534^\circ (pois parte real e imaginária são negativas, quase -90°).
Logo
|I_2| \approx \frac{69\,000}{95\,005{,}8} \approx 0{,}726315\\ \mathrm{A},
e o ângulo
\angle I_2 \approx 0^\circ -(-90{,}0534^\circ) = +90{,}0534^\circ.
Em forma rectangular (para conferência):
I_2 \approx -0{,}000677 + j\,0{,}726315\\ \mathrm{A}.
Usando I_1 = \dfrac{z+Z_{eq}}{z} I_2 (o fator é 1+ \dfrac{Z_{eq}}{z}, muito próximo de 1), obtemos
I_1 \approx 0{,}726319\angle 90{,}053^\circ\\ \mathrm{A},
ou em retangular
I_1 \approx -0{,}000668 + j\,0{,}726319\\ \mathrm{A}.
(Notas didáticas: ambas as correntes são praticamente iguais em módulo e fase, como era de se esperar quando a série z é muito grande: a diferença I_1-I_2 é pequena — corresponde à corrente que atravessa a série; a maior parte das correntes está associada ao efeito de shunt e à descarga/carregamento capacitivo da linha.)]

Passo 6

Calcular tensão no nó de recepção V_R e corrente na carga I_L (finalmente os valores que interessa checar na prova).
Usamos:
V_R = I_2\cdot Z_{eq}.
Com I_2 = 0{,}726315\angle 90{,}0534^\circ e Z_{eq} = 1{,}2394\angle 20{,}6^\circ (convertendo 1{,}2394 + j0{,}4657 para forma polar),
|V_R| = 0{,}726315\cdot 1{,}322 \approx 0{,}960505\\ \mathrm{V},
ângulo
\angle V_R = 90{,}0534^\circ + 20{,}6^\circ \approx 110{,}6534^\circ.
Em retangular:
\boxed{\,V_R \approx -0{,}3407 + j\,0{,}8981\\ \mathrm{V} = 0{,}9605\angle 110{,}653^\circ\,.}
Corrente na carga (pela lei de Ohm):
I_L = \frac{V_R}{Z_L}.
Como Z_L = 1\angle 45^\circ, então
|I_L| = \frac{0{,}960505}{1} = 0{,}960505\\ \mathrm{A},
ângulo
\angle I_L = 110{,}6534^\circ - 45^\circ = 65{,}6534^\circ.
Em retangular:
\boxed{\,I_L \approx 0{,}3976 + j\,0{,}8746\\ \mathrm{A} = 0{,}9605\angle 65{,}653^\circ\,.}
Verificação rápida (KCL no nó de recepção): a soma vetorial de I_L e da corrente no shunt direito I_{shR}=V_R\cdot Y/2 deve igualar I_2. Calculando I_{shR}=V_R\cdot j\,0{,}44109 obtém-se aproximadamente 0{,}4233\angle 200{,}653^\circ, e I_L + I_{shR} coincide numericamente (dentro de arredondamentos) com I_2. Isso confirma consistência.

Resposta

z' = 0{,}5 + j\,527{,}8\\ \Omega/\text{km}
z = 90 + j\,95\,004\\ \Omega
y' = j\,0{,}00490101\\ \mathrm{S}/\text{km},\; Y = j\,0{,}88218\\ \mathrm{S},\; Y/2 = j\,0{,}44109\\ \mathrm{S}
Z_{sh/2} = -j\,2{,}2679\\ \Omega
Z_{eq} = 1{,}2394 + j\,0{,}4657\\ \Omega
Equações de malha:
\\ (Z_{sh/2}+z)\,I_1 - z\,I_2 = V_s
\\ z\,I_1 - (z+Z_{eq})\,I_2 = 0
Solução numérica das malhas: I_1 \approx -0{,}000668 + j\,0{,}726319\\ \mathrm{A} = 0{,}726319\angle 90{,}053^\circ
I_2 \approx -0{,}000677 + j\,0{,}726315\\ \mathrm{A} = 0{,}726315\angle 90{,}053^\circ
Tensão na barra de carga: V_R \approx -0{,}3407 + j\,0{,}8981\\ \mathrm{V} = 0{,}9605\angle 110{,}653^\circ
Corrente na carga: I_L \approx 0{,}3976 + j\,0{,}8746\\ \mathrm{A} = 0{,}9605\angle 65{,}653^\circ

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