Conclua a elaboração e resolução das equações de malha da aplicação do modelo de linha média de 180 km que alimenta uma carga de 1 ohm[45 graus]. Utilize os dados de R’, L’ e C’ fornecidos.
| Linha média. | ||||
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| Vamos calcular z para a linha média 180 km | ||||
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Passo 1
O enunciado pede que eu conclua a elaboração e a resolução das equações de malha para a aplicação do modelo de linha média (modelo
com admitâncias nos extremos) de uma linha de
que alimenta uma carga
, usando os dados fornecidos. Dados fornecidos (vou listar exatamente o que temos):
O objetivo nesta resolução é:
- montar o circuito
(impedância série total e admitância shunt total , com em cada extremidade); - escrever as equações de malha apropriadas (duas malhas que compartilham a impedância série
, substituindo o ramo paralelo na extremidade recebida por sua impedância equivalente quando necessário); - resolver as equações (álgebra complexa) e obter correntes e tensões relevantes (correntes de malha
, tensão na barra de carga , corrente na carga ).
Nada do enunciado está ambíguo quanto aos valores numéricos; vou prosseguir sem perguntar nada.
Passo 2
Primeiro passo prático: calcular a impedância por quilómetro
, a impedância total série
, e a admitância por quilómetro
e admitância total
.
Explicação curta do conceito (para você entender): a impedância série por unidade de comprimento
combina a resistência por km e a reatância indutiva por km: para a parte indutiva usamos
. A admitância por unidade
da barreira shunt é a susceptância capacitiva
. A impedância total série da linha é simplesmente
porque estamos usando o modelo de linha média (lumped
com série total
e shunt total
dividido em dois). Vamos calcular.
Cálculos:
Calculemos o termo indutivo:
Logo
Impedância série total:
Agora a admitância por km (capacitiva):
Admitância total (somando os
):
Metade em cada extremidade (modelo
):
Finalmente a impedância do shunt em cada extremidade (impedância do ramo correspondente a
):
(Explicação: a inversa de
é
.)
Passo 3
Agora redesenhamos mentalmente o circuito
:
- fonte
ligada ao nó de envio; - em paralelo com a fonte ao nó de envio existe
até o neutro (terra); - série entre envio e recepção temos
; - no nó de recepção temos em paralelo
e a carga até o neutro.
Para aplicar equações de malha escolhemos duas malhas (uma “esquerda” envolvendo a fonte e o shunt esquerdo, e uma “direita” envolvendo o ramo série e o paralelo na extremidade direita). Para poder ter uma única impedância no ramo da extremidade direita quando aplicamos malhas, substituímos o paralelo de
//
por sua impedância equivalente
. Depois podemos recuperar correntes individuais na carga e no shunt direito por divisões de corrente ou usando admitâncias.
Cálculo da impedância equivalente do ramo paralelo na extremidade direita:
Explicarei a forma mais direta: calculemos as admitâncias e depois invertamos.
Explicarei a forma mais direta: calculemos as admitâncias e depois invertamos.
Primeiro transformar
para forma retangular:
Admitância da carga:
Agora a admitância equivalente do paralelo:
Calcule a parte imaginária:
Logo
Invertemos para obter
:
Para inverter uma admitância complexa
usamos a fórmula
. Aqui
.
Calcule :
Calcule
Agora
(Observação didática: o sinal da parte imaginária no numerador fica positivo porque invertendo trocamos o sinal do
na fórmula.)
Portanto:
Passo 4
Agora escrevemos as equações de malha. Definimos:
-
: corrente de malha da malha esquerda (passando por , por esquerdo e pela impedância série , no sentido horário); -
: corrente de malha da malha direita (passando por e por à direita, sentido horário).
Ao montar equações de malha (KVL) e considerando que a impedância série
é compartilhada, obtemos:
Equação da malha 1 (KVL, começando na fonte e seguindo o sentido do
):
Rearranjando:
Equação da malha 2 (KVL na malha direita):
ou
Essas são as duas equações de malha lineares complexas que precisamos resolver.
Passo 5
Resolver o sistema linear complexo. Vou mostrar a técnica (Cramer/eliminação simples) e executar os cálculos numéricos.
Reescrevendo o sistema matricial:
A partir da segunda equação temos diretamente:
Substituindo na primeira equação:
Isolando
:
Fazendo uma simplificação algébrica útil:
mas numericamente o termo
será muito pequeno porque
é muito grande em módulo (lembrando
tem componente indutiva enorme).
Agora substituímos os números (vou usar
para trabalhar em volts):
Valores recolhidos:
Calcule numericamente o denominador principal (vou mostrar a ideia e dar o resultado aproximado, porque envolve aritmética complexa detalhada; eu mantive precisão adequada para resultados finais):
Aproximando o termo pequeno (justificado porque
e
é da ordem de unidade), temos
Aproximando o termo pequeno
Calculando:
Então
Logo
Agora convertemos para forma polar para obter magnitude e ângulo:
- módulo do denominador
. - ângulo do denominador
(pois parte real e imaginária são negativas, quase -90°).
Logo
e o ângulo
Em forma rectangular (para conferência):
Usando
(o fator é
, muito próximo de 1), obtemos
ou em retangular
(Notas didáticas: ambas as correntes são praticamente iguais em módulo e fase, como era de se esperar quando a série
é muito grande: a diferença
é pequena — corresponde à corrente que atravessa a série; a maior parte das correntes está associada ao efeito de shunt e à descarga/carregamento capacitivo da linha.)]
Passo 6
Calcular tensão no nó de recepção
e corrente na carga
(finalmente os valores que interessa checar na prova).
Usamos:
Com
e
(convertendo
para forma polar),
ângulo
Em retangular:
Corrente na carga (pela lei de Ohm):
Como
, então
ângulo
Em retangular:
Verificação rápida (KCL no nó de recepção): a soma vetorial de
e da corrente no shunt direito
deve igualar
. Calculando
obtém-se aproximadamente
, e
coincide numericamente (dentro de arredondamentos) com
. Isso confirma consistência.
Resposta
Equações de malha:
Solução numérica das malhas:
Tensão na barra de carga:
Corrente na carga: