7- O ouro cristaliza com a célula unitária cúbica de face centrada. O raio de um átomo de ouro é 144 pm . Calcule o comprimento da aresta da célula unitária e a densidade do ouro em g. \mathrm{cm}^{-3}.

Passo 1

O enunciado diz que o ouro cristaliza em estrutura cúbica de face centrada (FCC) e dá o raio atômico r=144\\ \mathrm{pm}. Precisamos calcular (1) o comprimento da aresta da célula unitária a e (2) a densidade \rho em \mathrm{g\,cm^{-3}}. Para isso usaremos a geometria do empacotamento FCC e a definição de densidade como massa por volume do cristal.

Passo 2

Na estrutura cúbica de face centrada cada célula tem 4 átomos efetivos e os centros dos átomos nos cantos e no centro de cada face se tocam ao longo da diagonal de face. Essa diagonal mede
\text{diagonal de face} = a\sqrt{2},
e coincide com uma cadeia de dois diâmetros atômicos (quatro raios), logo
a\sqrt{2}=4r.
Desse modo isolamos a:
a=\frac{4r}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}\,r.

Passo 3

Vamos converter r para centímetros e calcular a:
r=144\\ \text{pm}=144\times10^{-12}\,\mathrm{m}=144\times10^{-10}\,\mathrm{cm}=1{,}44\times10^{-8}\,\mathrm{cm}.
Logo
a=2\sqrt{2}\,(1{,}44\times10^{-8}\,\mathrm{cm}) \approx2{,}8284\times1{,}44\times10^{-8}\,\mathrm{cm} \approx4{,}07\times10^{-8}\,\mathrm{cm}.

Passo 4

Para a densidade usamos
\rho = \frac{\text{massa na célula}}{\text{volume da célula}} =\frac{4\times M_{\rm Au}/N_A}{a^3},éé
onde 4 é o número de átomos por célula FCC, M_{\rm Au}=196{,}97\\ \mathrm{g/mol} é a massa atômica do ouro e N_A=6{,}022\times10^{23}\\ \mathrm{mol^{-1}}. O volume da célula é a^3.

Passo 5

Calculamos a massa por célula e o volume:
\text{massa por célula} =\frac{4\times196{,}97\\ \mathrm{g/mol}}{6{,}022\times10^{23}\\ \mathrm{mol^{-1}}} \approx1{,}308\times10^{-21}\,\mathrm{g},é
a^3=(4{,}07\times10^{-8}\,\mathrm{cm})^3 \approx6{,}75\times10^{-23}\,\mathrm{cm^3}.
Então
\rho=\frac{1{,}308\times10^{-21}\,\mathrm{g}}{6{,}75\times10^{-23}\,\mathrm{cm^3}} \approx19{,}4\\ \mathrm{g\,cm^{-3}}.

Resposta

Comprimento da aresta da célula unitária:
a\approx4{,}07\times10^{-8}\,\mathrm{cm}.
Densidade do ouro:
\rho\approx19{,}4\\ \mathrm{g\,cm^{-3}}.

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