Uma P.A. é formada por 3 termos com as seguintes propriedades:
I) seu produto é igual ao quadrado de sua soma;
II) a soma dos dois primeiros é igual ao terceiro.
Obtenha a P.A.
I) seu produto é igual ao quadrado de sua soma;
II) a soma dos dois primeiros é igual ao terceiro.
Passo 1
Vou traduzir claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- O enunciado fala de uma progressão aritmética formada por 3 termos.
- As duas condições dadas são:
- o produto dos três termos é igual ao quadrado da soma dos três termos;
- a soma dos dois primeiros termos é igual ao terceiro termo.
O que pede: encontrar todos os três termos dessa P.A.
Passo 2
Escolher uma forma padrão para representar uma P.A. de 3 termos e explicar por quê.
- Para uma P.A. de três termos é conveniente usar o termo central
e a razão . Assim os termos são - Aqui
é o termo do meio e é a diferença comum entre termos (a razão). Essa representação é simétrica e facilita contas porque o termo do meio é a média aritmética dos três termos.
Passo 3
Traduzir a condição II (soma dos dois primeiros é igual ao terceiro) em equação e resolver algebraicamente.
- A condição II diz
- Agora resolvendo passo a passo:
Igualando ao terceiro termo: Subtraindo de ambos os lados: Somando em ambos lados: - Conclusão intermediária: o termo do meio
é o dobro da razão .
Passo 4
Traduzir a condição I (produto = quadrado da soma) em equação usando nossa parametrização e simplificar.
- Produto dos três termos:
Podemos reconhecer , logo o produto é - Soma dos três termos:
cujo quadrado é - A condição I vira então a equação
Passo 5
Substituir a relação obtida no Passo 3 (
) na equação do Passo 4 e resolver para
, cuidando de casos especiais.
- Substituindo
nos três termos, eles ficam . - Produto =
. - Soma =
. Quadrado = . - Igualando produto e quadrado da soma:
- Levar tudo para um lado e fatorar:
- Dessa equação temos as possibilidades
ou seja - Observação importante sobre divisão: ao passar de
para tem-se que dividir por só é válido se ; por isso tratamos como caso separado acima.
Passo 6
Encontrar
e os termos correspondentes para cada solução de
e verificar que realmente satisfazem as duas condições.
-
Caso
: - Pela relação
tem-se . - Os termos são
, isto é a P.A. . - Verificação rápida: produto
, soma , quadrado da soma . E soma dos dois primeiros igual ao terceiro. Logo satisfaz.
- Pela relação
-
Caso
: - Pela relação
tem-se . - Os termos são
, isto é a P.A. . - Verificação rápida: produto
. Soma . Quadrado da soma . E soma dos dois primeiros igual ao terceiro. Tudo bate.
- Pela relação
Passo 7
Conclusão: listando as progressões que satisfazem as duas condições.