Uma P.A. é formada por 3 termos com as seguintes propriedades:
I) seu produto é igual ao quadrado de sua soma;
II) a soma dos dois primeiros é igual ao terceiro.
Obtenha a P.A.

Passo 1

Vou traduzir claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • O enunciado fala de uma progressão aritmética formada por 3 termos.
  • As duas condições dadas são:
    1. o produto dos três termos é igual ao quadrado da soma dos três termos;
    2. a soma dos dois primeiros termos é igual ao terceiro termo.
O que pede: encontrar todos os três termos dessa P.A.

Passo 2

Escolher uma forma padrão para representar uma P.A. de 3 termos e explicar por quê.
  • Para uma P.A. de três termos é conveniente usar o termo central a e a razão d. Assim os termos são a-d,\quad a,\quad a+d.
  • Aqui a é o termo do meio e d é a diferença comum entre termos (a razão). Essa representação é simétrica e facilita contas porque o termo do meio é a média aritmética dos três termos.

Passo 3

Traduzir a condição II (soma dos dois primeiros é igual ao terceiro) em equação e resolver algebraicamente.
  • A condição II diz (a-d)+a = a+d.
  • Agora resolvendo passo a passo: (a-d)+a = 2a-d.Igualando ao terceiro termo: 2a-d = a+d.Subtraindo a de ambos os lados: a-d = d.Somando d em ambos lados: a = 2d.
  • Conclusão intermediária: o termo do meio a é o dobro da razão d.

Passo 4

Traduzir a condição I (produto = quadrado da soma) em equação usando nossa parametrização e simplificar.
  • Produto dos três termos: (a-d)\cdot a\cdot (a+d).Podemos reconhecer (a-d)(a+d)=a^2-d^2, logo o produto é a\bigl(a^2-d^2\bigr)=a^3-ad^2.
  • Soma dos três termos: (a-d)+a+(a+d)=3a,cujo quadrado é (3a)^2=9a^2.
  • A condição I vira então a equação a^3-ad^2 = 9a^2.

Passo 5

Substituir a relação obtida no Passo 3 ( a=2d) na equação do Passo 4 e resolver para d, cuidando de casos especiais.
  • Substituindo a=2d nos três termos, eles ficam d,\,2d,\,3d.
  • Produto = d\cdot 2d\cdot 3d = 6d^3.
  • Soma = d+2d+3d = 6d. Quadrado = (6d)^2 =36d^2.
  • Igualando produto e quadrado da soma: 6d^3 = 36d^2.
  • Levar tudo para um lado e fatorar: 6d^3 - 36d^2 = 6d^2(d - 6)=0.
  • Dessa equação temos as possibilidades d^2=0 \quad\text{ou}\quad d-6=0,ou seja d=0 \quad\text{ou}\quad d=6.
  • Observação importante sobre divisão: ao passar de 6d^3 = 36d^2 para d=6 tem-se que dividir por d^2 só é válido se d\neq0; por isso tratamos d=0 como caso separado acima.

Passo 6

Encontrar a e os termos correspondentes para cada solução de d e verificar que realmente satisfazem as duas condições.
  • Caso d=0:
    • Pela relação a=2d tem-se a=0.
    • Os termos são a-d=0,\;a=0,\;a+d=0, isto é a P.A. (0,0,0).
    • Verificação rápida: produto 0, soma 0, quadrado da soma 0. E soma dos dois primeiros 0+0=0 igual ao terceiro. Logo satisfaz.
  • Caso d=6:
    • Pela relação a=2d tem-se a=12.
    • Os termos são a-d=6,\;a=12,\;a+d=18, isto é a P.A. (6,12,18).
    • Verificação rápida: produto 6\cdot12\cdot18=1296. Soma 6+12+18=36. Quadrado da soma 36^2=1296. E soma dos dois primeiros 6+12=18 igual ao terceiro. Tudo bate.

Passo 7

Conclusão: listando as progressões que satisfazem as duas condições.

Resposta

0,\;0,\;0
6,\;12,\;18

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