(Derivadas Parciais e Plano Tangente - 2.5 pontos) Dada a função f(x, y)=-x^{2} y^{5}-5 y x+3 y, encontre as derivadas parciais \frac{\partial z}{\partial x} e \frac{\partial z}{\partial y} no ponto (-1,2). Determine também a equação do plano tangente à superfície z=f(x, y) e da reta normal no ponto (-1,2, f(-1,2)).

Passo 1

O enunciado dá a função f(x,y)=-x^{2}y^{5}-5yx+3y e o ponto (-1,2). Pede três coisas:
  • Calcular \dfrac{\partial z}{\partial x} e \dfrac{\partial z}{\partial y} avaliadas no ponto (-1,2).
  • Determinar a equação do plano tangente à superfície z=f(x,y) no ponto (-1,2,f(-1,2)).
  • Determinar a equação da reta normal à superfície nesse mesmo ponto.
Informações importantes que já temos diretamente do enunciado:
  • A função: f(x,y)=-x^{2}y^{5}-5yx+3y.
  • O ponto em (x,y): (x_0,y_0)=(-1,2).
  • Precisaremos também do valor z_0=f(-1,2) para escrever o plano e a reta.

Passo 2

O que é e como calcular \dfrac{\partial z}{\partial x}:
  • Definição prática: a derivada parcial de f em relação a x, denotada f_x ou \dfrac{\partial f}{\partial x}, é a derivada da função considerando y como constante. Ou seja, derivamos termo a termo em relação a x tratando y como um número fixo.
Vamos derivar termo a termo a função dada:
f(x,y)=-x^{2}y^{5}-5yx+3y.
  • Para o termo -x^{2}y^{5}: como y é constante, a derivada em relação a x é -2x y^{5} (aplica-se a regra da potência ao fator x^2).
  • Para o termo -5yx: y é constante, então a derivada é -5y (derivada de x é 1).
  • Para o termo 3y: não depende de x, logo a derivada é 0.
Portanto a derivada parcial em relação a x é
f_x(x,y) = -2x y^{5} - 5y.

Passo 3

O que é e como calcular \dfrac{\partial z}{\partial y}:
  • Definição prática: a derivada parcial de f em relação a y, denotada f_y, é a derivada da função considerando x como constante. Derivamos termo a termo em relação a y.
Derivando cada termo:
  • Para -x^{2}y^{5}: x^2 é constante aqui, então a derivada é -x^{2}\cdot 5 y^{4} = -5 x^{2} y^{4}.
  • Para -5yx: x é constante, derivada em relação a y é -5x.
  • Para 3y: derivada é 3.
Logo
f_y(x,y) = -5 x^{2} y^{4} - 5x + 3.

Passo 4

Avaliar as derivadas no ponto (x_0,y_0)=(-1,2) e calcular z_0=f(-1,2):
Primeiro alguns números úteis (pegar estes valores de substituição):
  • y_0=2\Rightarrow y_0^{4}=16,\; y_0^{5}=32.
  • x_0=-1\Rightarrow x_0^{2}=1.
Avaliar f_x:
f_x(-1,2) = -2\cdot(-1)\cdot 2^{5} - 5\cdot 2.
Calcule passo a passo:
-2\cdot(-1)\cdot 32 = 64,\qquad -5\cdot 2 = -10,
logo
f_x(-1,2) = 64 - 10 = 54.
Avaliar f_y:
f_y(-1,2) = -5\cdot (-1)^{2}\cdot 2^{4} - 5\cdot(-1) + 3.
Calcule passo a passo:
-5\cdot 1 \cdot 16 = -80,\qquad -5\cdot(-1)=+5,
então
f_y(-1,2) = -80 + 5 + 3 = -72.
Calcular z_0=f(-1,2):
f(-1,2) = -(-1)^{2}\cdot 2^{5} -5\cdot 2\cdot(-1) + 3\cdot 2.
Passo a passo:
-1^{2}\cdot 32 = 32\Rightarrow -32,\qquad -5\cdot 2\cdot(-1)=+10,\qquad 3\cdot 2=6.
Somando:
z_0 = -32 + 10 + 6 = -16.
Recapitulando os valores no ponto:
f_x(-1,2)=54,\qquad f_y(-1,2)=-72,\qquad z_0=f(-1,2)=-16.

Passo 5

Equação do plano tangente:
  • Fórmula geral (linearização): para a superfície z=f(x,y) no ponto (x_0,y_0,z_0), a equação do plano tangente é
z = z_0 + f_x(x_0,y_0)\,(x-x_0) + f_y(x_0,y_0)\,(y-y_0).
Aqui x e y são as variáveis; x_0,y_0,z_0 e as derivadas parciais são constantes fixas avaliadas no ponto.
Substituindo os valores que encontramos:
z = -16 + 54\,(x-(-1)) + (-72)\,(y-2).
Simplificando os sinais:
z = -16 + 54\,(x+1) - 72\,(y-2).
Se quiser uma forma expandida, expandimos termo a termo:
z = -16 + 54x + 54 -72y + 144.
Somando as constantes:
-16+54+144 = 182,
portanto a forma simplificada é
z = 54x -72y + 182.
Ambas as formas representam o mesmo plano tangente.

Passo 6

Equação da reta normal:
  • Motivação e fórmula: para a superfície dada por [F(x,y,z)=z - f(x,y)=0), o vetor normal ao gráfico é o gradiente \nabla F = \bigl(-f_x,\,-f_y,\,1\bigr). Esse vetor aponta perpendicularmente ao plano tangente. Assim a reta normal no ponto (x_0,y_0,z_0) tem direção \bigl(-f_x(x_0,y_0),-f_y(x_0,y_0),1\bigr).
Usando os valores calculados (f_x,f_y)=(54,-72), o vetor normal vale
\bigl(-54,\;72,\;1\bigr).
A forma paramétrica da reta normal, usando parâmetro t e exigindo que em t=0 estejamos no ponto (-1,2,-16), é:
\begin{cases} x(t) = -1 - 54\,t,\\[4pt] y(t) = 2 + 72\,t,\\[4pt] z(t) = -16 + 1\cdot t. \end{cases}
Observação: qualquer múltiplo do vetor \bigl(-54,72,1\bigr)\] também define a mesma reta (direção é o que importa). Uma forma equivalente seria usar \((54,-72,-1) como direção e ajustar os sinais no parâmetro.]

Resposta

\dfrac{\partial z}{\partial x}\bigg|_{(-1,2)}=54
\dfrac{\partial z}{\partial y}\bigg|_{(-1,2)}=-72
Plano tangente: z=-16+54(x+1)-72(y-2) (ou z=54x-72y+182)
Reta normal (paramétrica): \;x=-1-54t,\;y=2+72t,\;z=-16+t

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