(Derivadas Parciais e Plano Tangente - 2.5 pontos) Dada a função
, encontre as derivadas parciais
e
no ponto
. Determine também a equação do plano tangente à superfície
e da reta normal no ponto
.
Passo 1
O enunciado dá a função
e o ponto
. Pede três coisas:
- Calcular
e avaliadas no ponto . - Determinar a equação do plano tangente à superfície
no ponto . - Determinar a equação da reta normal à superfície nesse mesmo ponto.
Informações importantes que já temos diretamente do enunciado:
- A função:
. - O ponto em
: . - Precisaremos também do valor
para escrever o plano e a reta.
Passo 2
O que é e como calcular
:
- Definição prática: a derivada parcial de
em relação a , denotada ou , é a derivada da função considerando como constante. Ou seja, derivamos termo a termo em relação a tratando como um número fixo.
Vamos derivar termo a termo a função dada:
- Para o termo
: como é constante, a derivada em relação a é (aplica-se a regra da potência ao fator ). - Para o termo
: é constante, então a derivada é (derivada de é ). - Para o termo
: não depende de , logo a derivada é .
Portanto a derivada parcial em relação a
é
Passo 3
O que é e como calcular
:
- Definição prática: a derivada parcial de
em relação a , denotada , é a derivada da função considerando como constante. Derivamos termo a termo em relação a .
Derivando cada termo:
- Para
: é constante aqui, então a derivada é . - Para
: é constante, derivada em relação a é . - Para
: derivada é .
Logo
Passo 4
Avaliar as derivadas no ponto
e calcular
:
Primeiro alguns números úteis (pegar estes valores de substituição):
-
. -
.
Avaliar
:
Calcule passo a passo:
logo
Avaliar
:
Calcule passo a passo:
então
Calcular
:
Passo a passo:
Somando:
Recapitulando os valores no ponto:
Passo 5
Equação do plano tangente:
- Fórmula geral (linearização): para a superfície
no ponto , a equação do plano tangente é
Aqui
e
são as variáveis;
e as derivadas parciais são constantes fixas avaliadas no ponto.
Substituindo os valores que encontramos:
Simplificando os sinais:
Se quiser uma forma expandida, expandimos termo a termo:
Somando as constantes:
portanto a forma simplificada é
Ambas as formas representam o mesmo plano tangente.
Passo 6
Equação da reta normal:
- Motivação e fórmula: para a superfície dada por [F(x,y,z)=z - f(x,y)=0), o vetor normal ao gráfico é o gradiente
. Esse vetor aponta perpendicularmente ao plano tangente. Assim a reta normal no ponto tem direção .
Usando os valores calculados
, o vetor normal vale
A forma paramétrica da reta normal, usando parâmetro
e exigindo que em
estejamos no ponto
, é:
Observação: qualquer múltiplo do vetor
como direção e ajustar os sinais no parâmetro.]
Resposta
Plano tangente:
Reta normal (paramétrica):