EXERCÍCIO 6
O eixo é apoiado por mancais radiais lisos (considere apenas as reações verticais já que não existem forças horizontais no problema) em A e B. Se d
, determine a tensão de flexão máxima absoluta na viga e esboce a atuação da distribuição de tensão sobre a seção transversal.
Passo 1
O enunciado dá uma viga apoiada em A e B com comprimento total
. A carga distribuída é trapezoidal: intensidade constante de
entre
e
(comprimento
) e, a partir de
, a intensidade decresce linearmente de
até
na extremidade (trecho
). O eixo tem seção circular maciça com diâmetro
. Considerar apenas reações verticais em
e
.
O que é pedido:
- Determinar a tensão de flexão máxima absoluta na viga (valor numérico).
- Esboçar a atuação da distribuição de tensão sobre a seção transversal (descrever como varia a tensão na seção).
Informações extraídas da figura (vou listá-las novamente para referência):
- Distância
a : . - Distância
à extremidade livre: . - Intensidade da carga na parte esquerda (até
): . - Intensidade na extremidade direita:
; decresce linearmente de em até na ponta. - Diâmetro da seção circular:
.
Passo 2
Transformar as cargas distribuídas em forças resultantes (para usar nas equações de equilíbrio).
-
Para o trecho uniforme de
: intensidade . - Resultante
- Local de aplicação (centro da área): a
de .
- Resultante
-
Para o trecho triangular decrescente de comprimento
(de até a ponta): intensidade máxima em igual a e zero na ponta. - Resultante
- Local de aplicação: para um triângulo com pico em
decrescendo até a ponta, o centroide fica a uma distância da base menor medida a partir do vértice da maior intensidade. Assim, atua a a partir de em direção à ponta, ou seja a de .
- Resultante
Resumo (valores que usaremos nas equações):
Passo 3
Equilíbrios estáticos para obter as reações verticais
e
(a viga é simplesmente apoiada).
Somatório das reações verticais:
Momento em relação a
:
Substituindo:
Logo
E
Breve interpretação para decorar: a reação em
é menor que em
porque há mais carga concentrada mais perto de
(o uniforme) e o triângulo está deslocado para a direita, mas o cálculo acima já deu os números exatos.
Passo 4
Encontrar o momento fletor máximo. Primeiro, escrevemos a expressão do momento no trecho
(onde só existe a carga uniforme
).
Para
:
- Força cortante:
(em kN). - Momento: integrar
ou usar fórmula direta:
O máximo do momento interno (no trecho) ocorre onde
, pois
.
Esse ponto está dentro do trecho
, logo é um candidato válido para o máximo.
Calcular
nesse
:
Fazendo as contas:
Portanto
Observação rápida: é conveniente verificar o momento em
(próximo ao apoio
) para ver se há algum outro pico:
menor que
. No trecho
a
o momento vai decrescendo até zero na ponta, portanto o valor calculado
é o máximo absoluto.
Converter para unidades do SI (N·m):
Passo 5
Propriedades da seção circular maciça (necessárias para a tensão de flexão).
- Diâmetro
- Distância máxima da fibra neutra à borda (braço
ou ):
- Momento de inércia de uma seção circular maciça em relação ao eixo neutro:
Calcule
:
Logo
Passo 6
Fórmula da tensão de flexão simples (linha neutra atravessando o centro):
onde:
-
é o momento fletor em um corte (em N·m), -
é a distância da fibra considerada até a linha neutra (m), -
é o momento de inércia da seção (m^4).
A tensão máxima absoluta ocorre em
, portanto
Substituindo os valores:
Calcule o numerador:
Então
Arredondando de forma prática (duas ou três cifras significativas):
Passo 7
Interpretação física e esboço da distribuição de tensão na seção transversal.
- A tensão de flexão varia linearmente com a distância
da linha neutra: as fibras acima da linha neutra têm sinal oposto às de baixo (compressão numa face e tração na outra), e o valor absoluto cresce linearmente até a borda. - Como a linha neutra passa pelo centro (seção simétrica), a máxima tensão de flexão ocorre nas fibras externas (a
). O sinal depende do sentido do momento: no ponto de momento máximo positivo (sagging), a face superior está comprimida e a inferior tracionada (ou vice-versa dependendo do desenho do carregamento e convenção de sinais). Neste problema, considerando o sentido usual (momento positivo gerando concavidade para cima), uma face fica em tração e a oposta em compressão. - Esboço verbal da distribuição: uma linha reta cruzando a seção circular (neutra no centro) e duas retas verticais na periferia mostrando
(compressão no topo, tração embaixo, por exemplo). A variação é linear do centro (zero) até as bordas (máximo).
Resposta
Distribuição na seção: variação linear do eixo neutro (centro da seção) até as fibras externas; tensão máxima absoluta
na periferia (sinais opostos nas faces opostas: compressão de um lado e tração do outro).