EXERCÍCIO 6
O eixo é apoiado por mancais radiais lisos (considere apenas as reações verticais já que não existem forças horizontais no problema) em A e B. Se d =90 \mathrm{~mm}, determine a tensão de flexão máxima absoluta na viga e esboce a atuação da distribuição de tensão sobre a seção transversal.

Passo 1

O enunciado dá uma viga apoiada em A e B com comprimento total 3{,}0+1{,}5=4{,}5\\ \mathrm{m}. A carga distribuída é trapezoidal: intensidade constante de 12\\ \mathrm{kN/m} entre A e B (comprimento 3{,}0\\ \mathrm{m}) e, a partir de B, a intensidade decresce linearmente de 12\\ \mathrm{kN/m} até 0 na extremidade (trecho 1{,}5\\ \mathrm{m}). O eixo tem seção circular maciça com diâmetro d=90\\ \mathrm{mm}. Considerar apenas reações verticais em A e B.
O que é pedido:
  • Determinar a tensão de flexão máxima absoluta na viga (valor numérico).
  • Esboçar a atuação da distribuição de tensão sobre a seção transversal (descrever como varia a tensão na seção).
Informações extraídas da figura (vou listá-las novamente para referência):
  • Distância A a B: 3{,}0\\ \mathrm{m}.
  • Distância B à extremidade livre: 1{,}5\\ \mathrm{m}.
  • Intensidade da carga na parte esquerda (até B): 12\\ \mathrm{kN/m}.
  • Intensidade na extremidade direita: 0\\ \mathrm{kN/m}; decresce linearmente de 12 em B até 0 na ponta.
  • Diâmetro da seção circular: d=90\\ \mathrm{mm}.

Passo 2

Transformar as cargas distribuídas em forças resultantes (para usar nas equações de equilíbrio).
  • Para o trecho uniforme de 0\le x\le 3{,}0\\ \mathrm{m}: intensidade w_1=12\\ \mathrm{kN/m}.
    • Resultante W_1 = w_1 \cdot 3{,}0 = 12\cdot 3{,}0 = 36\\ \mathrm{kN}.
    • Local de aplicação (centro da área): a 1{,}5\\ \mathrm{m} de A.
  • Para o trecho triangular decrescente de comprimento 1{,}5\\ \mathrm{m} (de B até a ponta): intensidade máxima em B igual a 12\\ \mathrm{kN/m} e zero na ponta.
    • Resultante W_2 = \tfrac{1}{2}\cdot 12\cdot 1{,}5 = 9\\ \mathrm{kN}.
    • Local de aplicação: para um triângulo com pico em B decrescendo até a ponta, o centroide fica a uma distância \tfrac{1}{3} da base menor medida a partir do vértice da maior intensidade. Assim, W_2 atua a 0{,}5\\ \mathrm{m} a partir de B em direção à ponta, ou seja a 3{,}5\\ \mathrm{m} de A.
Resumo (valores que usaremos nas equações):
W_1 = 36\\ \mathrm{kN}\quad\text{em}\quad x=1{,}5\\ \mathrm{m}, \qquad W_2 = 9\\ \mathrm{kN}\quad\text{em}\quad x=3{,}5\\ \mathrm{m}.

Passo 3

Equilíbrios estáticos para obter as reações verticais R_A e R_B (a viga é simplesmente apoiada).
Somatório das reações verticais:
R_A+R_B = W_1+W_2 = 36+9 = 45\\ \mathrm{kN}.
Momento em relação a A:
\sum M_A = 0 \quad\Rightarrow\quad R_B\cdot 4{,}5 - W_1\cdot 1{,}5 - W_2\cdot 3{,}5 = 0.
Substituindo:
R_B\cdot 4{,}5 = 36\cdot 1{,}5 + 9\cdot 3{,}5 = 54 + 31{,}5 = 85{,}5\\ \mathrm{kN\cdot m}.
Logo
R_B = \dfrac{85{,}5}{4{,}5} = 19{,}0\\ \mathrm{kN}.
E
R_A = 45 - 19{,}0 = 26{,}0\\ \mathrm{kN}.
Breve interpretação para decorar: a reação em B é menor que em A porque há mais carga concentrada mais perto de A (o uniforme) e o triângulo está deslocado para a direita, mas o cálculo acima já deu os números exatos.

Passo 4

Encontrar o momento fletor máximo. Primeiro, escrevemos a expressão do momento no trecho 0\le x\le 3{,}0\\ \mathrm{m} (onde só existe a carga uniforme w_1).
Para 0\le x\le 3{,}0:
  • Força cortante: V(x)=R_A - w_1 x = 26 - 12x (em kN).
  • Momento: integrar V ou usar fórmula direta:
M(x)=R_A x - \frac{w_1 x^2}{2} = 26x - 6x^2\qquad(\text{kN}\cdot\text{m}).
O máximo do momento interno (no trecho) ocorre onde V(x)=0, pois V=dM/dx.
V(x)=0 \Rightarrow 26 - 12x = 0 \Rightarrow x = \frac{26}{12} = \frac{13}{6} = 2{,}166\overline{6}\\ \mathrm{m}.
Esse ponto está dentro do trecho 0\le x\le 3, logo é um candidato válido para o máximo.
Calcular M nesse x:
M_{\max}=M\!\left(\frac{13}{6}\right)=26\cdot\frac{13}{6}-6\left(\frac{13}{6}\right)^{2}.
Fazendo as contas:
26\cdot\frac{13}{6}=\frac{338}{6}=\frac{169}{3}\quad\text{e}\quad 6\left(\frac{13}{6}\right)^{2}=6\cdot\frac{169}{36}=\frac{169}{6}.
Portanto
M_{\max}=\frac{169}{3}-\frac{169}{6}=\frac{169}{6}=28{,}166\overline{6}\\ \mathrm{kN\cdot m}.
Observação rápida: é conveniente verificar o momento em x=3{,}0 (próximo ao apoio B) para ver se há algum outro pico:
M(3)=26\cdot3-6\cdot 9 =78-54=24\\ \mathrm{kN\cdot m},
menor que 28{,}17\\ \mathrm{kN\cdot m}. No trecho 3 a 4{,}5\\ \mathrm{m} o momento vai decrescendo até zero na ponta, portanto o valor calculado M_{\max}=28{,}1667\\ \mathrm{kN\cdot m} é o máximo absoluto.
Converter para unidades do SI (N·m):
M_{\max}=28{,}1667\\ \mathrm{kN\cdot m}=28166{,}7\\ \mathrm{N\cdot m}.

Passo 5

Propriedades da seção circular maciça (necessárias para a tensão de flexão).
  • Diâmetro d=90\\ \mathrm{mm}=0{,}09\\ \mathrm{m}.
  • Distância máxima da fibra neutra à borda (braço c ou y_{\max}):
y_{\max} = \frac{d}{2} = \frac{0{,}09}{2} = 0{,}045\\ \mathrm{m}.
  • Momento de inércia de uma seção circular maciça em relação ao eixo neutro:
I = \frac{\pi d^{4}}{64}.
Calcule d^{4}:
d^{2}=0{,}09^{2}=0{,}0081,\qquad d^{4}=0{,}0081^{2}=6{,}561\times 10^{-5}\\ \mathrm{m^{4}}.
Logo
I = \frac{\pi \cdot 6{,}561\times 10^{-5}}{64} \approx 3{,}221\times 10^{-6}\\ \mathrm{m^{4}}.

Passo 6

Fórmula da tensão de flexão simples (linha neutra atravessando o centro):
\sigma = \frac{M\,y}{I},
onde:
  • M é o momento fletor em um corte (em N·m),
  • y é a distância da fibra considerada até a linha neutra (m),
  • I é o momento de inércia da seção (m^4).
A tensão máxima absoluta ocorre em y=y_{\max}, portanto
\sigma_{\max} = \frac{M_{\max}\,y_{\max}}{I}.
Substituindo os valores:
\sigma_{\max} = \frac{28166{,}7\cdot 0{,}045}{3{,}221\times 10^{-6}}\\ \mathrm{Pa}.
Calcule o numerador:
28166{,}7\cdot 0{,}045 = 1267{,}5\\ (\mathrm{N\cdot m^2}).
Então
\sigma_{\max} = \frac{1267{,}5}{3{,}221\times 10^{-6}} \approx 3{,}936\times 10^{8}\\ \mathrm{Pa}=393{,}6\\ \mathrm{MPa}.
Arredondando de forma prática (duas ou três cifras significativas):
\sigma_{\max}\approx 394\\ \mathrm{MPa}.

Passo 7

Interpretação física e esboço da distribuição de tensão na seção transversal.
  • A tensão de flexão varia linearmente com a distância y da linha neutra: as fibras acima da linha neutra têm sinal oposto às de baixo (compressão numa face e tração na outra), e o valor absoluto cresce linearmente até a borda.
  • Como a linha neutra passa pelo centro (seção simétrica), a máxima tensão de flexão ocorre nas fibras externas (a y= \pm 0{,}045\\ \mathrm{m}). O sinal depende do sentido do momento: no ponto de momento máximo positivo (sagging), a face superior está comprimida e a inferior tracionada (ou vice-versa dependendo do desenho do carregamento e convenção de sinais). Neste problema, considerando o sentido usual (momento positivo gerando concavidade para cima), uma face fica em tração e a oposta em compressão.
  • Esboço verbal da distribuição: uma linha reta cruzando a seção circular (neutra no centro) e duas retas verticais na periferia mostrando \pm 394\\ \mathrm{MPa} (compressão no topo, tração embaixo, por exemplo). A variação é linear do centro (zero) até as bordas (máximo).

Resposta

\sigma_{\max}\approx 394\\ \mathrm{MPa}.
Distribuição na seção: variação linear do eixo neutro (centro da seção) até as fibras externas; tensão máxima absoluta \approx 394\\ \mathrm{MPa} na periferia (sinais opostos nas faces opostas: compressão de um lado e tração do outro).

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