EXERCÍCIO 8
Se \mathrm{d}=450 \mathrm{~mm}, determine a máxima tensão devido à flexão na viga apoiada com uma extremidade em balanc̣o.

Passo 1

O enunciado pede a máxima tensão devido à flexão na viga cujo perfil transversal está mostrado e para o qual foi dado d=450\\ \text{mm}. Vou listar claramente o que o enunciado e a figura nos dão (peguei estes números da imagem):
  • Viga com dois apoios: A (à esquerda) e B (a 4{,}0\\ \text{m} de A). A viga continua 2{,}0\\ \text{m} além de B (overhang), ou seja comprimento total 6{,}0\\ \text{m}.
  • Carga distribuída uniforme w=8\\ \text{kN/m} atuando sobre o trecho de A até B (comprimento 4{,}0\\ \text{m}).
  • Carga concentrada P=12\\ \text{kN} aplicada na extremidade livre (a 2{,}0\\ \text{m} a partir de B).
  • Dimensões do perfil (peguei estes comprimentos diretamente da imagem do corte):
    • abertura interna vertical (entre faces interiores do topo e fundo) d=450\\ \text{mm} (dado).
    • espessuras/larguras mostradas na figura que esclarecem a geometria externa e interna do retângulo:
      • largura interna (horizontal) b_i=125\\ \text{mm},
      • espessuras laterais externas 25\\ \text{mm} em cada lado (logo largura externa b_o=25+125+25=175\\ \text{mm}),
      • altura dos elementos superiores/inferiores mostrada 75\\ \text{mm} cada (logo altura externa h_o=d+75+75=d+150).
  • O que se pede explicitamente: determinar a máxima tensão de flexão \sigma_{\max} na viga (valor numérico e onde ocorre, se for relevante).

Passo 2

Vamos primeiro obter as reações nos apoios usando equilíbrio estático da viga inteira (forças verticais e momentos).
Defino reações verticais R_A e R_B em A e B, positivas para cima.
Equilíbrio vertical:
R_A + R_B = w\cdot 4 + P = 8\cdot 4 + 12 = 44\\ \text{kN}.
Equilíbrio de momentos em torno de A (tomando sentido positivo o das reações que geram momento positivo):
  • Resultante da carga distribuída w\cdot 4 atua no meio do trecho A- B, a 2{,}0\\ \text{m} de A.
  • A carga P atua a 6{,}0\\ \text{m} de A.
    Logo:
\sum M_A = 0 \quad\Rightarrow\quad R_B\cdot 4 - w\cdot 4\cdot 2 - P\cdot 6 = 0.
Substituindo números:
4R_B - 8\cdot 4\cdot 2 - 12\cdot 6 = 0
4R_B - 64 - 72 = 0 \quad\Rightarrow\quad 4R_B = 136
R_B = 34\\ \text{kN}.
Então
R_A = 44 - 34 = 10\\ \text{kN}.
Comentário rápido: sempre é bom checar soma das forças com sinais; está coerente.

Passo 3

Agora construímos a curva de esforços cortantes/momentos para achar onde o momento (em módulo) é máximo.
  • No trecho 0\le x\le 4{,}0\\ \text{m} (a partir de A), o diagrama é influenciado por R_A e w. O esforço cortante V(x) é
V(x) = R_A - w x.
Zeramento do cortante (ponto de máximo momento no trecho) quando V=0:
x = \frac{R_A}{w} = \frac{10}{8} = 1{,}25\\ \text{m}.
Momento nesse ponto:
M\Big(1{,}25\Big) = R_A x - \frac{w x^2}{2} = 10\cdot 1{,}25 - \frac{8\cdot (1{,}25)^2}{2} = 12{,}5 - 4\cdot 1{,}5625 = 12{,}5 - 6{,}25 = 6{,}25\\ \text{kN}\cdot\text{m}.
  • Em B (na face imediata esquerda de B), o momento é
M_B = R_A\cdot 4 - \frac{w\cdot 4^2}{2} = 10\cdot 4 - \frac{8\cdot 16}{2} = 40 - 64 = -24\\ \text{kN}\cdot\text{m}.
(O sinal negativo indica momento inverso ao definido positivo; em módulo |M_B|=24\\ \text{kN}\cdot\text{m}.)
  • Do lado direito de B até a extremidade livre, o momento no ponto B também pode ser obtido considerando a carga P no braço de 2\\ \text{m}: M_B = -P\cdot 2 = -12\cdot 2 = -24\\ \text{kN}\cdot\text{m}. Confirmação consistente.
Comparando os valores absolutos dos momentos:
|M(1{,}25)| = 6{,}25\\ \text{kN}\cdot\text{m},\qquad |M_B| = 24\\ \text{kN}\cdot\text{m}.
Logo o momento máximo em módulo é M_{\max}=24\\ \text{kN}\cdot\text{m}, localizado em B (momento de hogging, negativo no sentido adotado).

Passo 4

Agora vamos ao cálculo da inércia da seção transversal (momento de inércia) em relação ao eixo neutro horizontal (eixo que passa pelo centro geométrico). Para isso uso o método “retângulo externo menos retângulo interno” porque a figura mostra uma seção retangular oca formada por juntar peças (peguei as dimensões externas e internas da imagem como listado no Passo 1).
Fórmula para um retângulo de largura b e altura h em relação ao eixo horizontal que passa pelo centro:
I_{ret}=\frac{b\,h^3}{12},
onde I tem unidades \text{mm}^4. Para a seção oca:
I = I_{\text{outer}} - I_{\text{inner}} = \frac{b_o h_o^3}{12} - \frac{b_i h_i^3}{12}.
Agora as dimensões que peguei da imagem:
  • b_o = 25 + 125 + 25 = 175\\ \text{mm} (largura externa),
  • h_o = d + 75 + 75 = d + 150 = 450 + 150 = 600\\ \text{mm} (altura externa),
  • b_i = 125\\ \text{mm} (largura interna),
  • h_i = d = 450\\ \text{mm} (altura interna).
Calculemos passo a passo (todas as contas em \text{mm} e \text{mm}^4):
Primeiro h_o^3 e h_i^3:
h_o^3 = 600^3 = 216\,000\,000\\ \text{mm}^3, \qquad h_i^3 = 450^3 = 91\,125\,000\\ \text{mm}^3.
Agora os momentos de inércia dos retângulos:
I_{\text{outer}}=\frac{175\cdot 216\,000\,000}{12}= \frac{37\,800\,000\,000}{12}=3\,150\,000\,000\\ \text{mm}^4.
I_{\text{inner}}=\frac{125\cdot 91\,125\,000}{12}= \frac{11\,390\,625\,000}{12}=949\,218\,750\\ \text{mm}^4.
Portanto
I = 3\,150\,000\,000 - 949\,218\,750 = 2\,200\,781\,250\\ \text{mm}^4.
(Arredondando quando conveniente podemos usar I\approx 2{,}2008\times 10^9\\ \text{mm}^4.)

Passo 5

A tensão máxima de flexão na seção causada por um momento M é dada pela fórmula clássica da flexão:
\sigma = \frac{M\,c}{I},
onde:
  • M é o momento de flexão no ponto (em unidades compatíveis),
  • c é a distância do eixo neutro até a fibra mais afastada (ou seja metade da altura externa),
  • I é o momento de inércia da seção.
Aqui:
M_{\max} = 24\\ \text{kN}\cdot\text{m} = 24{,}000\\ \text{N}\cdot\text{m} = 24{,}000{,}000\\ \text{N}\cdot\text{mm},
converti para \text{N}\cdot\text{mm} porque I está em \text{mm}^4.
A distância até a fibra extrema (metade da altura externa):
c = \frac{h_o}{2} = \frac{600}{2} = 300\\ \text{mm}.
Agora a tensão:
\sigma_{\max} = \frac{24{,}000{,}000\\ \text{N}\cdot\text{mm}\\ \cdot\\\ 300\\ \text{mm}}{2\,200\,781\,250\\ \text{mm}^4}.
Calcule numericamente:
\text{numerador} = 24{,}000{,}000\cdot 300 = 7{,}200{,}000{,}000,
\sigma_{\max} = \frac{7{,}200{,}000{,}000}{2{,}200{,}781{,}250}\\ \text{N/mm}^2 \approx 3{,}27\\ \text{N/mm}^2.
Em unidades usuais: 1\\ \text{N/mm}^2 = 1\\ \text{MPa}, então
\sigma_{\max}\approx 3{,}27\\ \text{MPa}.
Observação sobre sinal e posição: o momento em B é negativo (hogging), então a fibra superior em B estará em compressão e a inferior em tração; o valor aqui é o módulo máximo da tensão de flexão.

Resposta

\sigma_{\max}=3{,}27\\ \text{MPa}

Exercícios relacionados