EXERCÍCIO 8
Se
, determine a máxima tensão devido à flexão na viga apoiada com uma extremidade em balanc̣o.
Passo 1
O enunciado pede a máxima tensão devido à flexão na viga cujo perfil transversal está mostrado e para o qual foi dado
. Vou listar claramente o que o enunciado e a figura nos dão (peguei estes números da imagem):
- Viga com dois apoios:
(à esquerda) e (a de ). A viga continua além de (overhang), ou seja comprimento total . - Carga distribuída uniforme
atuando sobre o trecho de até (comprimento ). - Carga concentrada
aplicada na extremidade livre (a a partir de ). - Dimensões do perfil (peguei estes comprimentos diretamente da imagem do corte):
- abertura interna vertical (entre faces interiores do topo e fundo)
(dado). - espessuras/larguras mostradas na figura que esclarecem a geometria externa e interna do retângulo:
- largura interna (horizontal)
, - espessuras laterais externas
em cada lado (logo largura externa ), - altura dos elementos superiores/inferiores mostrada
cada (logo altura externa ).
- largura interna (horizontal)
- abertura interna vertical (entre faces interiores do topo e fundo)
- O que se pede explicitamente: determinar a máxima tensão de flexão
na viga (valor numérico e onde ocorre, se for relevante).
Passo 2
Vamos primeiro obter as reações nos apoios usando equilíbrio estático da viga inteira (forças verticais e momentos).
Defino reações verticais
e
em
e
, positivas para cima.
Equilíbrio vertical:
Equilíbrio de momentos em torno de
(tomando sentido positivo o das reações que geram momento positivo):
- Resultante da carga distribuída
atua no meio do trecho - , a de . - A carga
atua a de .
Logo:
Substituindo números:
Então
Comentário rápido: sempre é bom checar soma das forças com sinais; está coerente.
Passo 3
Agora construímos a curva de esforços cortantes/momentos para achar onde o momento (em módulo) é máximo.
- No trecho
(a partir de ), o diagrama é influenciado por e . O esforço cortante é
Zeramento do cortante (ponto de máximo momento no trecho) quando
:
Momento nesse ponto:
- Em
(na face imediata esquerda de ), o momento é
(O sinal negativo indica momento inverso ao definido positivo; em módulo
.)
- Do lado direito de
até a extremidade livre, o momento no ponto também pode ser obtido considerando a carga no braço de : . Confirmação consistente.
Comparando os valores absolutos dos momentos:
Logo o momento máximo em módulo é
, localizado em
(momento de hogging, negativo no sentido adotado).
Passo 4
Agora vamos ao cálculo da inércia da seção transversal (momento de inércia) em relação ao eixo neutro horizontal (eixo que passa pelo centro geométrico). Para isso uso o método “retângulo externo menos retângulo interno” porque a figura mostra uma seção retangular oca formada por juntar peças (peguei as dimensões externas e internas da imagem como listado no Passo 1).
Fórmula para um retângulo de largura
e altura
em relação ao eixo horizontal que passa pelo centro:
onde
tem unidades
. Para a seção oca:
Agora as dimensões que peguei da imagem:
-
(largura externa), -
(altura externa), -
(largura interna), -
(altura interna).
Calculemos passo a passo (todas as contas em
e
):
Primeiro
e
:
Agora os momentos de inércia dos retângulos:
Portanto
(Arredondando quando conveniente podemos usar
.)
Passo 5
A tensão máxima de flexão na seção causada por um momento
é dada pela fórmula clássica da flexão:
onde:
-
é o momento de flexão no ponto (em unidades compatíveis), -
é a distância do eixo neutro até a fibra mais afastada (ou seja metade da altura externa), -
é o momento de inércia da seção.
Aqui:
converti para
porque
está em
.
A distância até a fibra extrema (metade da altura externa):
Agora a tensão:
Calcule numericamente:
Em unidades usuais:
, então
Observação sobre sinal e posição: o momento em
é negativo (hogging), então a fibra superior em
estará em compressão e a inferior em tração; o valor aqui é o módulo máximo da tensão de flexão.