*P14.84 Determine o deslocamento vertical do nó D. A treliça é feita de barras de aço A992 com diâmetro de 30 mm .

Passo 1

O enunciado pede: determinar o deslocamento vertical do nó D.
Informações dadas no enunciado: a treliça é feita de barras de aço A992 com diâmetro de 30\\ \text{mm}.
Dado importante: não foi enviada a figura da treliça (ou a descrição geométrica, ligações, apoios e carregamentos). Sem essa figura ou esses dados numéricos/geométricos não é possível calcular o deslocamento do nó D, pois faltam: conectividade dos nós (quem liga a quem), coordenadas ou comprimentos dos membros, tipos e posições dos apoios, e valores/direções das cargas aplicadas.

Passo 2

O que seria necessário para resolver o problema (liste para você saber o que falta):
  1. Geometria da treliça: coordenadas dos nós (inclusive do nó D) ou comprimentos e inclinações de todos os membros.
  2. Conectividade: lista de quais nós cada barra conecta.
  3. Condições de apoio: quais nós são engastados, apoiados, livres (para saber as restrições de deslocamento).
  4. Carregamentos: forças (módulo, direção e ponto de aplicação) ou cargas distribuídas equivalentes.
  5. Propriedades dos membros: aqui já temos diâmetro 30\\ \text{mm} e material A992 (precisamos do módulo de elasticidade E desse aço).
    Sem esses itens não há dados suficientes para cálculo numérico.

Passo 3

Método recomendado (quando a figura estiver disponível) e por que:
Para encontrar um único deslocamento vertical de um nó em uma treliça isostática ou hiperestática, os métodos mais usados são: método dos trabalhos virtuais (método da carga unitária / teorema dos trabalhos virtuais ou de Castigliano) ou o método da rigidez (matriz de rigidez / método dos deslocamentos).
Eu escolho explicar o método da carga unitária (trabalho virtual) porque, para obter um único deslocamento, ele costuma ser mais direto e menos trabalhoso do que montar toda a matriz global de rigidez. Ele exige: calcular as forças axiais em cada barra devido às cargas reais e devido a uma carga unitária aplicada no ponto e na direção do deslocamento desejado; depois combinar esses esforços. É um método que cai bem em prova rápida.

Passo 4

Teoria essencial do método da carga unitária (passo a passo didático):
  1. Princípio central: o deslocamento virtual \delta na direção desejada (aqui vertical em D) pode ser obtido por
\delta=\sum_{i}\frac{N_i\,N_i^*\,L_i}{A_i\,E_i},
onde a soma é sobre todas as barras i.
2. Explicação dos termos:
  • N_i: força axial na barra i devido às cargas reais (sinal: tração positivo, compressão negativo, por convenção).
  • N_i^*: força axial na barra i devido a uma carga virtual unitária aplicada no nó D na direção do deslocamento que queremos (aqui +1 no sentido positivo vertical).
  • L_i: comprimento da barra i.
  • A_i: área de seção transversal da barra i.
  • E_i: módulo de elasticidade do material da barra i.
  1. Unidade e sinais: ao usar a fórmula em unidades coerentes (por ex. N e mm), E em N/mm^2 (MPa), A em mm^2, L em mm, o resultado \delta fica em mm. A soma inclui sinais de N_i e N_i^*; o produto N_i N_i^* pode ser positivo ou negativo, e isso dará o sentido adequado ao deslocamento resultante.
  2. Como obter N_i e N_i^*: use método dos nós ou método das seções para equilibrar forças em cada nó e determinar as forças axiais em todas as barras sob (a) as cargas reais e (b) a carga unitária aplicada em D. Para a carga virtual, considere apenas essa carga unitária (todas as cargas reais = 0).
  3. Variações: se diferentes barras tiverem diferentes seções A_i ou materiais E_i, use esses valores individuais; se todas forem iguais (aqui o diâmetro é igual), então A_i=A e E_i=E simplificam a soma.

Passo 5

Cálculo de propriedades que podemos pré-computar com a informação disponível (para usar quando tivermos os esforços):
  1. Área da seção transversal de uma barra circular de diâmetro 30\\ \text{mm}:
A=\frac{\pi d^2}{4}=\frac{\pi(30)^2}{4}=225\pi\\ \text{mm}^2\approx 706{,}858\\ \text{mm}^2.
(Em metros quadrados: A\approx 7{,}06858\times 10^{-4}\\ \text{m}^2.)
2. Módulo de elasticidade do aço A992: tipicamente podemos usar
E\approx 200\\ \text{GPa}=200{,}000\\ \text{N/mm}^2.
(Em N/mm^2, E=200{,}000 é uma escolha padrão para aço estrutural; se seu enunciado usa outro valor, substitua.)
3. Assim, para cada barra de comprimento L_i a contribuição do termo denominar é A\,E\approx(225\pi)(200{,}000)\\ \text{N}. Mas não calcule numérico final ainda — falta N_i, N_i^* e L_i para cada barra.

Passo 6

Procedimento prático completo para aplicar na prova (faça isto com a figura em mãos):
  1. Identifique todos os membros e meça/obtenha seus comprimentos L_i (pode usar coordenadas para calcular distância entre nós).
  2. Calcule ou determine geometricamente as direções (ângulos) de cada membro para aplicar equilíbrio nos nós.
  3. Com as cargas reais, resolva a treliça por método dos nós/ seções para obter N_i (forças axiais em todas as barras). Anote sinais.
  4. Aplique uma carga virtual unitária ( 1\\ \text{N}, ou 1\\ \text{kN} — qualquer unidade desde que consistente) no nó D na direção vertical positiva e calcule as forças axiais N_i^* em todas as barras (novamente por método dos nós/seções), levando em conta apoios.
  5. Calcule a soma
\delta=\sum_i\frac{N_i\,N_i^*\,L_i}{A\,E}
(usando A e E calculados no Passo 5).
6. Converta para a unidade desejada (por ex. mm ou m). Verifique o sinal final; se \delta for negativo, o deslocamento é para baixo segundo sua convenção.
7. Cheque coerência: se o valor for muito grande, revise os sinais e se a treliça é hiperestática (então o procedimento continua válido, mas a obtenção de N_i pode exigir compatibilidade ou método da rigidez se for necessário).
Dicas de prova: organize um quadro com N_i, N_i^*, L_i e calcule termo a termo; isso evita erros de soma.

Passo 7

Observação final e encorajamento: eu sei que perder tempo com figura faltando é chato, mas agora você tem o método detalhado, a fórmula e as propriedades já computadas para o diâmetro dado. Com a figura ou os dados geométricos e as cargas você consegue seguir os passos e calcular \delta numa folha de prova sem necessidade de montar toda a matriz de rigidez (a não ser que o seu professor tenha pedido explicitamente esse outro método). Você consegue — respira fundo e aplica o procedimento passo a passo.

Resposta

Não é possível determinar o deslocamento vertical do nó D porque a figura (geometria, conectividade dos membros, apoios e carregamentos) não foi fornecida.

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