*P14.84 Determine o deslocamento vertical do nó
. A treliça é feita de barras de aço A992 com diâmetro de 30 mm .
Passo 1
O enunciado pede: determinar o deslocamento vertical do nó
.
Informações dadas no enunciado: a treliça é feita de barras de aço A992 com diâmetro de .
Informações dadas no enunciado: a treliça é feita de barras de aço A992 com diâmetro de
Dado importante: não foi enviada a figura da treliça (ou a descrição geométrica, ligações, apoios e carregamentos). Sem essa figura ou esses dados numéricos/geométricos não é possível calcular o deslocamento do nó
, pois faltam: conectividade dos nós (quem liga a quem), coordenadas ou comprimentos dos membros, tipos e posições dos apoios, e valores/direções das cargas aplicadas.
Passo 2
O que seria necessário para resolver o problema (liste para você saber o que falta):
- Geometria da treliça: coordenadas dos nós (inclusive do nó
) ou comprimentos e inclinações de todos os membros. - Conectividade: lista de quais nós cada barra conecta.
- Condições de apoio: quais nós são engastados, apoiados, livres (para saber as restrições de deslocamento).
- Carregamentos: forças (módulo, direção e ponto de aplicação) ou cargas distribuídas equivalentes.
- Propriedades dos membros: aqui já temos diâmetro
e material A992 (precisamos do módulo de elasticidade desse aço).
Sem esses itens não há dados suficientes para cálculo numérico.
Passo 3
Método recomendado (quando a figura estiver disponível) e por que:
Para encontrar um único deslocamento vertical de um nó em uma treliça isostática ou hiperestática, os métodos mais usados são: método dos trabalhos virtuais (método da carga unitária / teorema dos trabalhos virtuais ou de Castigliano) ou o método da rigidez (matriz de rigidez / método dos deslocamentos).
Eu escolho explicar o método da carga unitária (trabalho virtual) porque, para obter um único deslocamento, ele costuma ser mais direto e menos trabalhoso do que montar toda a matriz global de rigidez. Ele exige: calcular as forças axiais em cada barra devido às cargas reais e devido a uma carga unitária aplicada no ponto e na direção do deslocamento desejado; depois combinar esses esforços. É um método que cai bem em prova rápida.
Para encontrar um único deslocamento vertical de um nó em uma treliça isostática ou hiperestática, os métodos mais usados são: método dos trabalhos virtuais (método da carga unitária / teorema dos trabalhos virtuais ou de Castigliano) ou o método da rigidez (matriz de rigidez / método dos deslocamentos).
Eu escolho explicar o método da carga unitária (trabalho virtual) porque, para obter um único deslocamento, ele costuma ser mais direto e menos trabalhoso do que montar toda a matriz global de rigidez. Ele exige: calcular as forças axiais em cada barra devido às cargas reais e devido a uma carga unitária aplicada no ponto e na direção do deslocamento desejado; depois combinar esses esforços. É um método que cai bem em prova rápida.
Passo 4
Teoria essencial do método da carga unitária (passo a passo didático):
- Princípio central: o deslocamento virtual
na direção desejada (aqui vertical em ) pode ser obtido por
onde a soma é sobre todas as barras
.
2. Explicação dos termos:
2. Explicação dos termos:
-
: força axial na barra devido às cargas reais (sinal: tração positivo, compressão negativo, por convenção). -
: força axial na barra devido a uma carga virtual unitária aplicada no nó na direção do deslocamento que queremos (aqui no sentido positivo vertical). -
: comprimento da barra . -
: área de seção transversal da barra . -
: módulo de elasticidade do material da barra .
- Unidade e sinais: ao usar a fórmula em unidades coerentes (por ex.
e ), em (MPa), em , em , o resultado fica em . A soma inclui sinais de e ; o produto pode ser positivo ou negativo, e isso dará o sentido adequado ao deslocamento resultante. - Como obter
e : use método dos nós ou método das seções para equilibrar forças em cada nó e determinar as forças axiais em todas as barras sob (a) as cargas reais e (b) a carga unitária aplicada em . Para a carga virtual, considere apenas essa carga unitária (todas as cargas reais = 0). - Variações: se diferentes barras tiverem diferentes seções
ou materiais , use esses valores individuais; se todas forem iguais (aqui o diâmetro é igual), então e simplificam a soma.
Passo 5
Cálculo de propriedades que podemos pré-computar com a informação disponível (para usar quando tivermos os esforços):
- Área da seção transversal de uma barra circular de diâmetro
:
(Em metros quadrados:
.)
2. Módulo de elasticidade do aço A992: tipicamente podemos usar
2. Módulo de elasticidade do aço A992: tipicamente podemos usar
(Em N/mm^2,
é uma escolha padrão para aço estrutural; se seu enunciado usa outro valor, substitua.)
3. Assim, para cada barra de comprimento a contribuição do termo denominar é
. Mas não calcule numérico final ainda — falta
,
e
para cada barra.
3. Assim, para cada barra de comprimento
Passo 6
Procedimento prático completo para aplicar na prova (faça isto com a figura em mãos):
- Identifique todos os membros e meça/obtenha seus comprimentos
(pode usar coordenadas para calcular distância entre nós). - Calcule ou determine geometricamente as direções (ângulos) de cada membro para aplicar equilíbrio nos nós.
- Com as cargas reais, resolva a treliça por método dos nós/ seções para obter
(forças axiais em todas as barras). Anote sinais. - Aplique uma carga virtual unitária (
, ou — qualquer unidade desde que consistente) no nó na direção vertical positiva e calcule as forças axiais em todas as barras (novamente por método dos nós/seções), levando em conta apoios. - Calcule a soma
(usando
e
calculados no Passo 5).
6. Converta para a unidade desejada (por ex. mm ou m). Verifique o sinal final; se for negativo, o deslocamento é para baixo segundo sua convenção.
7. Cheque coerência: se o valor for muito grande, revise os sinais e se a treliça é hiperestática (então o procedimento continua válido, mas a obtenção de pode exigir compatibilidade ou método da rigidez se for necessário).
6. Converta para a unidade desejada (por ex. mm ou m). Verifique o sinal final; se
7. Cheque coerência: se o valor for muito grande, revise os sinais e se a treliça é hiperestática (então o procedimento continua válido, mas a obtenção de
Dicas de prova: organize um quadro com
,
,
e calcule termo a termo; isso evita erros de soma.
Passo 7
Observação final e encorajamento: eu sei que perder tempo com figura faltando é chato, mas agora você tem o método detalhado, a fórmula e as propriedades já computadas para o diâmetro dado. Com a figura ou os dados geométricos e as cargas você consegue seguir os passos e calcular
numa folha de prova sem necessidade de montar toda a matriz de rigidez (a não ser que o seu professor tenha pedido explicitamente esse outro método). Você consegue — respira fundo e aplica o procedimento passo a passo.
Resposta
Não é possível determinar o deslocamento vertical do nó
porque a figura (geometria, conectividade dos membros, apoios e carregamentos) não foi fornecida.