P5.39 O eixo de transmissão de um motor é feito de um material com tensāo de cisalhamento admissível \tau_{\mathrm{adm}}=75 \mathrm{MPa}. Se o diâmetro externo do eixo tubular é 20 mm e a espessura da parede 2,5 \mathrm{~mm}, determine a potência máxima admissível que pode ser fornecida ao motor quando o eixo está operando a uma velocidade angular de 1.500 \mathrm{rev} / \mathrm{min}.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede a potência máxima admissível do eixo:
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  • Tensăo de cisalhamento admissível: \tau_{\mathrm{adm}} = 75\\ \mathrm{MPa}.
    \n
  • Diâmetro externo do eixo tubular: d_o = 20\\ \mathrm{mm}.
    \n
  • Espessura da parede: t = 2{,}5\\ \mathrm{mm}.
    \n
  • Velocidade de rotação: n = 1.500\\ \mathrm{rev/min}.
    \n
    O que o problema pede: determinar a potência máxima P_{\mathrm{max}} que pode ser transmitida pelo eixo sem que a tensão de cisalhamento ultrapasse \tau_{\mathrm{adm}}, quando o eixo gira a n.

Passo 2

Princípio físico e fórmula usada para ligar torque e tensão de cisalhamento:
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Para uma seção circular oca submetida a um torque T, a máxima tensăo de cisalhamento na borda externa (raio externo) é dada por
\tau_{\max}=\frac{T\,c}{J},
onde:
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  • \tau_{\max} é a tensăo de cisalhamento máxima (Pa);
    \n
  • T é o torque aplicado (N·m);
    \n
  • c é o raio externo da seção (m);
    \n
  • J é o momento polar de inércia da secção (m^4).
    \n
    Daí, o torque admissível que não ultrapassa \tau_{\mathrm{adm}} é
T_{\mathrm{adm}}=\tau_{\mathrm{adm}}\frac{J}{c}.
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Vou usar essa fórmula: primeiro calculo J e c, depois T_{\mathrm{adm}}.

Passo 3

Fórmula do momento polar J para um tubo circular (seção oca):
J=\frac{\pi}{2}\left(r_o^4-r_i^4\right),
onde r_o é o raio externo e r_i o raio interno. Relação entre diâmetros e espessura:
r_o=\frac{d_o}{2},\qquad d_i=d_o-2t,\qquad r_i=\frac{d_i}{2}.

Passo 4

Converter medidas para o sistema SI e calcular r_o e r_i:
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  • d_o=20\\ \mathrm{mm}=0{,}020\\ \mathrm{m} então r_o=\dfrac{d_o}{2}=0{,}010\\ \mathrm{m}.
    \n
  • A espessura t=2{,}5\\ \mathrm{mm}=0{,}0025\\ \mathrm{m}. O diâmetro interno é
d_i=d_o-2t=0{,}020-2\cdot0{,}0025=0{,}015\\ \mathrm{m},
logo r_i=\dfrac{d_i}{2}=0{,}0075\\ \mathrm{m}.

Passo 5

Calcular r_o^4 e r_i^4 e então J:
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r_o^4=(0{,}010)^4=1{,}0\times10^{-8}\\ \mathrm{m^4}.
\n
r_i^4=(0{,}0075)^4=(7{,}5\times10^{-3})^4=3{,}1640625\times10^{-9}\\ \mathrm{m^4}.
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Diferença:
r_o^4-r_i^4=1{,}0\times10^{-8}-3{,}1640625\times10^{-9}=6{,}8359375\times10^{-9}\\ \mathrm{m^4}.
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Agora
J=\frac{\pi}{2}\left(6{,}8359375\times10^{-9}\right)=\pi\cdot3{,}41796875\times10^{-9}\\ \mathrm{m^4}.
\n
Numericamente (aprox.):
J\approx 1{,}07378\times10^{-8}\\ \mathrm{m^4}.

Passo 6

Calcular o torque admissível T_{\mathrm{adm}} usando \tau_{\mathrm{adm}} e c=r_o:
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Converter \tau_{\mathrm{adm}} para Pa: \tau_{\mathrm{adm}}=75\\ \mathrm{MPa}=75\times10^{6}\\ \mathrm{Pa}.
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T_{\mathrm{adm}}=\tau_{\mathrm{adm}}\frac{J}{r_o}=75\times10^{6}\cdot\frac{1{,}07378\times10^{-8}}{0{,}010}.
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Calculemos passo a passo: \dfrac{J}{r_o}=\dfrac{1{,}07378\times10^{-8}}{0{,}01}=1{,}07378\times10^{-6}\\ \mathrm{m^3}.
\n
Então
T_{\mathrm{adm}}=75\times10^{6}\cdot1{,}07378\times10^{-6}\approx80{,}5335\\ \mathrm{N\cdot m}.

Passo 7

Relação entre potência, torque e velocidade angular:
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P=T\omega,
com \omega em rad/s. Converter n=1.500\\ \mathrm{rev/min} para \omega:
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\omega=2\pi\frac{n}{60}=2\pi\frac{1.500}{60}=2\pi\cdot25=50\pi\\ \mathrm{rad/s}.
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Numericamente \omega\approx 157{,}0796\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 8

Calcular a potência máxima admissível:
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P_{\mathrm{max}}=T_{\mathrm{adm}}\omega\approx80{,}5335\cdot157{,}0796\\ \mathrm{W}.
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Fazendo a multiplicação:
P_{\mathrm{max}}\approx12{.}650\\ \mathrm{W}\approx12{,}65\\ \mathrm{kW}.
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Resumo: o eixo pode transmitir cerca de 12{,}65\\ \mathrm{kW} sem exceder a tensăo de cisalhamento admissível quando gira a 1.500\\ \mathrm{rev/min}.

Resposta

P_{\mathrm{max}}\approx 12{,}65\\ \mathrm{kW}

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