P15 Determine os componentes de d^2 A / d t^2 em coordenadas cilíndricas, sendo o vetor A uma função de t e estando localizado em ponto móvel.

Passo 1

O enunciado pede d^2vec A/dt^2 expresso em coordenadas cilíndricas, sabendo que
vec A(t)=Ar(t),hat er+Atheta(t),hat etheta+Az(t),hat ez
e que os versores mudam com o ângulo theta(t). Para resolver, usamos (i) a regra da derivada de um vetor em base móvel e (ii) as derivadas
dhat erdt=dottheta,hat etheta, dhat ethetadt=-dottheta,hat er, dhat ezdt=0

Passo 2

Calcular dvec Adt. Aplicando a regra do produto para cada componente:
dvec Adt =dot Ar,hat er+Ardhat erdt +dot Atheta,hat etheta+Athetadhat ethetadt +dot Az,hat ez
Substituindo as derivadas dos versores:
dvec Adt =(dot Ar-Atheta,dottheta),hat er +(dot Atheta+Ar,dottheta),hat etheta +dot Az,hat ez

Passo 3

Chame
Cr=dot Ar-Atheta,dottheta, Ctheta=dot Atheta+Ar,dottheta, Cz=dot Az
Então
d^2vec Adt^2 =ddt(Cr,hat er+Ctheta,hat etheta+Cz,hat ez) =dot Cr,hat er+Crdhat erdt +dot Ctheta,hat etheta+Cthetadhat ethetadt +dot Cz,hat ez
Aplicando de novo tfracdhat erdt=dottheta,hat etheta e tfracdhat ethetadt=-dottheta,hat er, obtemos
d^2vec Adt^2 =(dot Cr-Cthetadottheta),hat er +(dot Ctheta+Crdottheta),hat etheta +ddot Az,hat ez

Passo 4

Calculamos dot Cr e dot Ctheta:
dot Cr =ddot Ar-dot Atheta,dottheta -Atheta,ddottheta, dot Ctheta =ddot Atheta+dot Ar,dottheta +Ar,ddottheta
Substituindo em cada componente:
l(tfracd^2vec Adt^2r)r =ddot Ar-2dot Atheta,dottheta -Atheta,ddottheta -Ar,dottheta^2,
l(tfracd^2vec Adt^2r)theta =ddot Atheta+2dot Ar,dottheta +Ar,ddottheta -Atheta,dottheta^2,
l(tfracd^2vec Adt^2r)z =ddot Az

Resposta

d^2vec Adt^2 =l(ddot Ar-2dot Athetadottheta -Athetaddottheta -Ardottheta^2r)hat er +l(ddot Atheta+2dot Ardottheta +Arddottheta -Athetadottheta^2r)hat etheta +ddot Az,hat ez

Exercícios relacionados