P50 (a) Discuta, usando o método do potencial efetivo, os tipos de movimentos que se pode esperar para uma força atrativa central inversamente proporcional ao cubo do raio,
F(r)=-Kr^3, K>0
(b) Determine o intervalo de energia e o momento angular para cada tipo de movimento.
(c) Resolva a equação orbital, mostrando que a solução tem uma das seguintes:
& 1r=A cos [beta(phi-phio)], & 1r=A cosh [beta(phi-phio)], & 1r=A sinh [beta(phi-phio)], & 1r=A(phi-phio) & 1r=1ro exp ( pm beta theta)
(d) Para que valores de L e E cada um desses movimentos ocorre? Expresse as constantes A e B em termos de E e L em cada caso, (e) Faça um gráfico da órbita típica de cada um dos tipos acima.

Passo 1

O enunciado trata do movimento de uma partícula de massa m sob força central
F(r)=-Kr^3, K>0
Queremos, via potencial efetivo,
1. classificar os tipos de movimento;
2. determinar intervalos de energia E e momento angular L;
3. resolver a equação orbital para obter as formas
,1/r=Acos[beta(phi-phi0)], cosh, sinh, linear e exponencial;
4. associar cada fórmula a condições em L e E e expressar A e beta;
5. esboçar qualitativamente cada órbita.

Passo 2

Calcule o potencial efetivo
Urm eff(r)=L^22m,r^2+U(r), -dUdr=F(r)= -Kr^3 ;Rightarrow;U(r)=-integral!F,dr=-K2r^2
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Urm eff(r) =L^22m,r^2-K2r^2 =L^2-mK2m,r^2
  • Se L^2>mK, Urm eff>0 decresce de +infty (quando rto0) a 0^+ (quando rtoinfty): existe barreira centrífuga e só espalhamento.
  • Se L^2<mK, Urm eff<0 cresce de -infty a 0^-: atrai sempre, sem mínimo local.
  • Se L^2=mK, Urm effequiv0: caso limite de força puramente centrípeta.

Passo 3

A condição de movimento é E>= Urm eff(r). Portanto:
  • L^2>mK implies Urm eff>0 e só E>0 é permitido (órbitas de espalhamento).
  • L^2=mK implies Urm eff=0 e só E>0 gera movimento (espiral sem ponto de retorno).
  • L^2<mK implies Urm eff<0:
    • E>0: nunca há retorno, a partícula cai no centro (plunge).
    • E=0: caso crítico, também plunge sem ponto de retorno finito.
    • E<0: existe ponto de retorno rmax tal que E=Urm eff(rmax)<0; aproxima-se de rmax e depois plunge.

Passo 4

Use a fórmula de Binet com u=1/r:
d^2udphi^2+u =-m,F(1/u)L^2,u^2 =mKL^2,u ;Longrightarrow; d^2udphi^2 +l(1-mKL^2r)u=0
Defina
beta^2=l|;1-mKL^2r|
Então:
  • L^2>mK;Rightarrow;1-tfracmKL^2=beta^2>0:
    u=Acos[beta(phi-phi0)].
  • L^2<mK;Rightarrow;1-tfracmKL^2=-beta^2<0:
    u=D,e^betaphi+E,e^-betaphi, que se reescreve em cosh, sinh ou puro e^pmbetaphi.
  • L^2=mK;Rightarrow;beta=0:
    u=A(phi-phi0).

Passo 5

A primeira integral da energia em coordenadas angulares é
l(dudphir)^2 +l(1-mKL^2r)u^2 =2mEL^2
Disto seguem as relações:
1. Caso L^2>mK ( beta^2=1-tfracmKL^2, E>0):
1r=Acos[beta(phi-phi0)], A^2beta^2=2mEL^2
2. Caso L^2=mK ( beta=0, E>0):
1r=A(phi-phi0), A^2=2mEL^2
3. Caso L^2<mK ( beta^2=tfracmKL^2-1):
  • Se E<0, escolhemos D=E Rightarrow 1r=Acosh[beta(phi-phi0)], A^2beta^2=-2mEL^2
  • Se E>0, escolhemos D=-E Rightarrow 1r=Asinh[beta(phi-phi0)], A^2beta^2=2mEL^2
  • Se E=0, DE=0 Rightarrow 1r=1r0,e^pmbeta(phi-phi0), beta=raizmKL^2-1

Passo 6

Esboço qualitativo das órbitas em coordenadas polares:
  • L^2>mK: função cos to espalhamento com dois assimptotas em phi=phi0pmpi/(2beta) e mínimo rmin=1/A.
  • L^2=mK: 1/rpropto(phi-phi0) to espiral polinomial sem retorno.
  • L^2<mK, E<0: cosh to aproximação máxima rmax=1/A e depois plunge.
  • L^2<mK, E>0: sinh to plunge direto sem retorno, passando por r=infty em phi=phi0.
  • L^2<mK, E=0: exponencial to espiral logarítmica invertida.

Resposta

&L^2>mK, E>0: 1r=Acos[beta(phi-phi0)], beta=raiz1-mKL^2, A^2beta^2=2mEL^2, &L^2=mK, E>0: 1r=A(phi-phi0), A^2=2mEL^2, &L^2<mK, E<0: 1r=Acosh[beta(phi-phi0)], beta=raizmKL^2-1, A^2beta^2=-2mEL^2, &L^2<mK, E>0: 1r=Asinh[beta(phi-phi0)], A^2beta^2=2mEL^2, &L^2<mK, E=0: 1r=1r0e^pmbeta(phi-phi0), beta=raizmKL^2-1

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