P50 (a) Discuta, usando o método do potencial efetivo, os tipos de movimentos que se pode esperar para uma força atrativa central inversamente proporcional ao cubo do raio,
(b) Determine o intervalo de energia e o momento angular para cada tipo de movimento.
(c) Resolva a equação orbital, mostrando que a solução tem uma das seguintes:
(d) Para que valores de
e
cada um desses movimentos ocorre? Expresse as constantes
e
em termos de
e
em cada caso, (e) Faça um gráfico da órbita típica de cada um dos tipos acima.
(c) Resolva a equação orbital, mostrando que a solução tem uma das seguintes:
Passo 1
O enunciado trata do movimento de uma partícula de massa
sob força central
Queremos, via potencial efetivo,
. classificar os tipos de movimento;
. determinar intervalos de energia
e momento angular
;
. resolver a equação orbital para obter as formas
,
,
, linear e exponencial;
. associar cada fórmula a condições em
e
e expressar
e
;
. esboçar qualitativamente cada órbita.
Passo 2
Calcule o potencial efetivo
Logo
- Se
, decresce de (quando ) a (quando ): existe barreira centrífuga e só espalhamento. - Se
, cresce de a : atrai sempre, sem mínimo local. - Se
, : caso limite de força puramente centrípeta.
Passo 3
A condição de movimento é
. Portanto:
-
e só é permitido (órbitas de espalhamento). -
e só gera movimento (espiral sem ponto de retorno). -
: -
: nunca há retorno, a partícula cai no centro (plunge). -
: caso crítico, também plunge sem ponto de retorno finito. -
: existe ponto de retorno tal que ; aproxima-se de e depois plunge.
-
Passo 4
Use a fórmula de Binet com
:
Defina
Então:
-
:L^2>mK;Rightarrow;1-tfracmKL^2=beta^2>0
.u=Acos[beta(phi-phi0)] -
:L^2<mK;Rightarrow;1-tfracmKL^2=-beta^2<0
, que se reescreve emu=D,e^betaphi+E,e^-betaphi ,cosh ou purosinh .e^pmbetaphi -
:L^2=mK;Rightarrow;beta=0
.u=A(phi-phi0)
Passo 5
A primeira integral da energia em coordenadas angulares é
Disto seguem as relações:
- Se
, escolhemosE<0 D=E Rightarrow 1r=Acosh[beta(phi-phi0)], A^2beta^2=-2mEL^2 - Se
, escolhemosE>0 D=-E Rightarrow 1r=Asinh[beta(phi-phi0)], A^2beta^2=2mEL^2 - Se
,E=0 DE=0 Rightarrow 1r=1r0,e^pmbeta(phi-phi0), beta=raizmKL^2-1
Passo 6
Esboço qualitativo das órbitas em coordenadas polares:
-
: funçãoL^2>mK espalhamento com dois assimptotas emcos to e mínimophi=phi0pmpi/(2beta) .rmin=1/A -
:L^2=mK espiral polinomial sem retorno.1/rpropto(phi-phi0) to -
:L^2<mK, E<0 aproximação máximacosh to e depois plunge.rmax=1/A -
:L^2<mK, E>0 plunge direto sem retorno, passando porsinh to emr=infty .phi=phi0 -
: exponencialL^2<mK, E=0 espiral logarítmica invertida.to