P2.60 Determine, pelo método da Série de Fourier, a solução estacionária para um oscilador harmônico sujeito a força
onde
é um inteiro e
, onde
é a frequência de ressonância do oscilador. Mostre que, se
o movimento é aproximadamente senoidal com periodo
.
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que temos um oscilador harmônico (massa m, constante k, amortecimento c) sendo empurrado por uma força periódica em “escada”
onde
e
.
Conteúdo que vamos usar:
Conteúdo que vamos usar:
- Série de Fourier de funções periódicas.
- Resposta estacionária (regime permanente) de um sistema linear a cada harmônico.
- Critério de ressonância fraca (
, com ).
Passo 2
Primeiro topo a gente expande
em Série de Fourier de período
.
Usamos
Usamos
Calculando coeficientes (integrou-se só na metade em que
), obtém-se
Ou seja
Passo 3
A equação do oscilador é
Por linearidade, na resposta estacionária somamos a contribuição de cada harmônico
: se o forçamento tem termo
, a solução particular é
com
Passo 4
Agora, note que
.
- Para
, , longe da ressonância, o amplitude é pequena. - Para
, , ou seja exata ressonância! Se , o denominador fica bem pequenininho, então fica muito maior que os outros .
Logo o termo de ordem
domina totalmente a soma.
Passo 5
Concluímos que, em regime estacionário e para
,
que é uma única onda senoidal de frequência
. Como
, o período desse movimento é
Resposta
O oscilador fica, no regime permanente e para
, efetivamente numa senóide de frequência
(período
), pois o 3º harmônico da Série de Fourier entra em ressonância e domina todas as demais contribuições.