P2.60 Determine, pelo método da Série de Fourier, a solução estacionária para um oscilador harmônico sujeito a força
F(t)= 0, & se n T
onde n é um inteiro e T=6 pi / omega0, onde omegao é a frequência de ressonância do oscilador. Mostre que, se gamma ll omega0 o movimento é aproximadamente senoidal com periodo T / 3.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que temos um oscilador harmônico (massa m, constante k, amortecimento c) sendo empurrado por uma força periódica em “escada”
F(t)= 0, & nT < t <= l(n+tfrac12r)T, F0, & l(n+tfrac12r)T < t <= (n+1)T,
onde e .
Conteúdo que vamos usar:
  1. Série de Fourier de funções periódicas.
  2. Resposta estacionária (regime permanente) de um sistema linear a cada harmônico.
  3. Critério de ressonância fraca ( , com ).

Passo 2

Primeiro topo a gente expande F(t)=a02+sumn=1^inftyl[ancos(nomega t)+bnsin(nomega t)r],omega=2piT=omega03 em Série de Fourier de período a0=F0, an=0, bn=-4F0npipara (n) ímpar, e zero para (n) par .
Usamos
F(t)=F02 -2F0pisumk=1^infty12k-1,sinl[(2k-1)omega tr]
Calculando coeficientes (integrou-se só na metade em que ), obtém-se
í
Ou seja

Passo 3

A equação do oscilador é
mddot x + cdot x + kx = F(t)
Por linearidade, na resposta estacionária somamos a contribuição de cada harmônico xn(t)=Xnsinl(nomega t-varphinr), : se o forçamento tem termo Xn=|bn|/mraiz(omega0^2-(nomega)^2)^2+(2gamma,nomega)^2, varphin=arctan2gamma,nomegaomega0^2-(nomega)^2 , a solução particular é
com

Passo 4

Agora, note que .
  • Para , , longe da ressonância, o amplitude é pequena.
  • Para , , ou seja exata ressonância! Se , o denominador fica bem pequenininho, então fica muito maior que os outros .
Logo o termo de ordem domina totalmente a soma.

Passo 5

Concluímos que, em regime estacionário e para x(t)approx X3sinl(3omega t-varphi3r), ,
boxedT/3
que é uma única onda senoidal de frequência . Como , o período desse movimento é

Resposta

O oscilador fica, no regime permanente e para , efetivamente numa senóide de frequência (período ), pois o 3º harmônico da Série de Fourier entra em ressonância e domina todas as demais contribuições.

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