P2.57 (a) Determine, usando o principio da superposição, o movimento de um oscilador subamortecido com $ \gamma / 2=(1 / 3) \omega_{0}$ inicialmete em repouso e
submetido, após
, à ação da força
onde
é a frequência natural do oscilador.
(b) Qual deve ser a razão entre
e
para que as oscilações forçadas com frequência
tenham a mesma amplitude que as oscilações cuja frequência é
?
submetido, após
(b) Qual deve ser a razão entre
Passo 1
Beleza, aí vai o resumão do problema. A gente tem um oscilador linear amortecido “subamortecido” (ou seja, o amortecimento é fraco) com
inicialmente em repouso (antes de t=0: x(0)=0 e x′(0)=0). A partir de t=0 entra uma força externa
Matéria envolvida: equação diferencial linear amortecida com força externa, princípio da superposição, solução homogênea + particulares, amplitude e fase da resposta forçada. A gente vai precisar escrever a EDO
e quebrar o problema em duas forças (A sin ω₀t e B sin 3ω₀t), montar solução geral e aplicar condições iniciais.
Passo 2
Modelo e superposição
- A equação completa (assumindo massa m=1 para simplificar) é
- Por linearidade (superposição), escrevemos
onde
– x_h(t) é a solução homogênea (sem forçante),
– x_{p1}(t) é a resposta à forçante A sin(ω₀t),
– x_{p2}(t) é a resposta à forçante B sin(3ω₀t).
– x_h(t) é a solução homogênea (sem forçante),
– x_{p1}(t) é a resposta à forçante A sin(ω₀t),
– x_{p2}(t) é a resposta à forçante B sin(3ω₀t).
Passo 3
Solução particular para cada componente
(1) Para F₁=A sin(ω₀t):
– A amplitude estacionária vale
(1) Para F₁=A sin(ω₀t):
– A amplitude estacionária vale
Logo
(2) Para F₂=B sin(3ω₀t):
– Amplitude
– Amplitude
Mas
, então
logo
– Fase
Então
Passo 4
Solução homogênea e aplicação das condições iniciais
A parte homogênea, por ser subamortecida, é
A parte homogênea, por ser subamortecida, é
com
Impondo x(0)=0 e x′(0)=0, a gente determina D₁ e D₂ em função de A e B (é só derivar x_h+x_{p1}+x_{p2}, avaliar em t=0 e resolver o sisteminha). Esses coeficientes garantem que não tenha “pulo” inicial.
Passo 5
Razão para amplitudes iguais em ω₀ e 3ω₀ (parte b)
A amplitude estacionária em ω₀ é e em 3ω₀ é
. Queremos
A amplitude estacionária em ω₀ é
Resposta
A solução completa é
com
,
,
e
definidos pelas condições iniciais
.
Para ter mesma amplitude nas oscilações forçadas de frequência 3ω₀ e ω₀, basta escolher