P2.57 (a) Determine, usando o principio da superposição, o movimento de um oscilador subamortecido com $ \gamma / 2=(1 / 3) \omega_{0}$ inicialmete em repouso e
submetido, após gamma / 2=(1 / 3) omega0, à ação da força
t=0
onde F=A sin omega0 t+B sin (3 omega0 t), é a frequência natural do oscilador.
(b) Qual deve ser a razão entre omega0 e B para que as oscilações forçadas com frequência A tenham a mesma amplitude que as oscilações cuja frequência é 3 omega0 ?

Passo 1

Beleza, aí vai o resumão do problema. A gente tem um oscilador linear amortecido “subamortecido” (ou seja, o amortecimento é fraco) com
gamma2=13,omega0Longrightarrow gamma=23,omega0,
inicialmente em repouso (antes de t=0: x(0)=0 e x′(0)=0). A partir de t=0 entra uma força externa
F(t)=Asin(omega0t)+Bsin(3omega0t)
Matéria envolvida: equação diferencial linear amortecida com força externa, princípio da superposição, solução homogênea + particulares, amplitude e fase da resposta forçada. A gente vai precisar escrever a EDO
x''+gamma,x'+omega0^2,x = F(t)
e quebrar o problema em duas forças (A sin ω₀t e B sin 3ω₀t), montar solução geral e aplicar condições iniciais.

Passo 2

Modelo e superposição
  1. A equação completa (assumindo massa m=1 para simplificar) é
x''+gamma,x'+omega0^2,x = Asin(omega0t)+Bsin(3omega0t)
  1. Por linearidade (superposição), escrevemos
x(t)=xh(t)+xp1(t)+xp2(t),
onde
– x_h(t) é a solução homogênea (sem forçante),
– x_{p1}(t) é a resposta à forçante A sin(ω₀t),
– x_{p2}(t) é a resposta à forçante B sin(3ω₀t).

Passo 3

Solução particular para cada componente
(1) Para F₁=A sin(ω₀t):
– A amplitude estacionária vale
C1=Araiz(omega0^2-omega0^2)^2+(gamma,omega0)^2 =Agamma,omega0 e varphi1=arctan!l(gamma,omega0omega0^2-omega0^2r)=pi2
Logo
xp1(t)=C1sinl(omega0t-varphi1r) =Agamma,omega0;sin!l(omega0t-pi2r) =-Agamma,omega0,cos(omega0t)
(2) Para F₂=B sin(3ω₀t):
– Amplitude
C2=Braizl(omega0^2-(3omega0)^2r)^2+(gammacdot3omega0)^2 =Braiz(-8omega0^2)^2+(3gammaomega0)^2 =Bomega0^2raiz64+9(gammaomega0)^2
Mas raiz64+9(2/3)^2=raiz64+4=raiz68=2raiz17, , então
C2=B2raiz17,omega0^2
logo
varphi2=arctan!l(gamma,(3omega0)omega0^2-(3omega0)^2r) =arctan!l(3gammaomega0-8omega0^2r) =-arctan!l(3gamma8omega0r)
– Fase
xp2(t)=C2sinl(3omega0t-varphi2r)
Então

Passo 4

Solução homogênea e aplicação das condições iniciais
A parte homogênea, por ser subamortecida, é
xh(t)=e^-gamma2tl(D1cos(omega1 t)+D2sin(omega1 t)r),
com
Impondo x(0)=0 e x′(0)=0, a gente determina D₁ e D₂ em função de A e B (é só derivar x_h+x_{p1}+x_{p2}, avaliar em t=0 e resolver o sisteminha). Esses coeficientes garantem que não tenha “pulo” inicial.

Passo 5

Razão para amplitudes iguais em ω₀ e 3ω₀ (parte b)
A amplitude estacionária em ω₀ é C1 = C2 Longrightarrow Agamma,omega0=B2raiz17,omega0^2 Longrightarrow BA =2raiz17,omega0^2gamma,omega0 =2raiz17,omega0gamma =2raiz172/3 =3raiz17 e em 3ω₀ é . Queremos

Resposta

A solução completa é
boxed x(t) =e^-gamma2tl(D1cos(omega1 t)+D2sin(omega1 t)r) -Agamma,omega0cos(omega0t) +B2raiz17,omega0^2,sinl(3omega0t-varphi2r)
com boxedBA=3raiz17 , , e definidos pelas condições iniciais .
Para ter mesma amplitude nas oscilações forçadas de frequência 3ω₀ e ω₀, basta escolher

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