P2.48 Um oscilador harmônico sem amortecimento
é submetido à ação de uma força
. Mostre que se
, não existirá solução estacionária. Determine uma solução particular, admitindo inicialmente uma solução
, e tomando o limite
.
Sugestão: Se o leitor iniciar com a solução do estado estacionário e fizer
, ela divergirá. Tente começar com uma solução que satisfaça a condição inicial
, de forma que ela não divirja em
.
Sugestão: Se o leitor iniciar com a solução do estado estacionário e fizer
Passo 1
Beleza, aqui a ideia é a seguinte: a gente tem um oscilador harmônico sem amortecimento (ou seja,
) descrito pela EDO
com frequência natural
. O objetivo é mostrar que, se você põe a força externa na ressonância (
), não dá para ter uma “solução estacionária” (ela explodiria). Em vez disso, a gente vai assumir
, achar a solução particular que respeita as condições iniciais (pra não dar problema em
), e só então deixar
. A teoria que vamos usar é a solução geral de EDO de 2ª ordem: soma da homogênea mais uma particular, e aplicação das condições iniciais.
Passo 2
Escrevendo direito:
onde
. A solução geral é
com
e
uma “particular” que a gente ajusta pra forçante. Para encontrar
e os coeficientes da parte particular, usamos as condições iniciais (normalmente
,
).
Passo 3
Agora põe
e procura uma particular que não dê “divergência” em
. Um jeito esperto é
Observe que em
o numerador some (
), então não explode. Além disso, se você juntasse só a parte estacionária
ela daria divisão por zero quando
. Essa forma evita isso.
Passo 4
Falta agora levar
. Escrevendo
temos
Como
, e usando a identidade de diferença de cossenos, dá para mostrar que no limite
Esse é o crescimento linear em
típico de ressonância plena.
Resposta
Não existe solução estacionária em
. A solução particular no caso de ressonância é