P2.48 Um oscilador harmônico sem amortecimento (b=0) é submetido à ação de uma força Fo cos omega t. Mostre que se omega=omegao, não existirá solução estacionária. Determine uma solução particular, admitindo inicialmente uma solução omega=omegao+epsilon, e tomando o limite epsilon 0.
Sugestão: Se o leitor iniciar com a solução do estado estacionário e fizer epsilon 0, ela divergirá. Tente começar com uma solução que satisfaça a condição inicial x0, de forma que ela não divirja em t=0.

Passo 1

Beleza, aqui a ideia é a seguinte: a gente tem um oscilador harmônico sem amortecimento (ou seja, m,ddot x + k,x = F0cos(omega t), ) descrito pela EDO
com frequência natural . O objetivo é mostrar que, se você põe a força externa na ressonância ( ), não dá para ter uma “solução estacionária” (ela explodiria). Em vez disso, a gente vai assumir , achar a solução particular que respeita as condições iniciais (pra não dar problema em ), e só então deixar . A teoria que vamos usar é a solução geral de EDO de 2ª ordem: soma da homogênea mais uma particular, e aplicação das condições iniciais.

Passo 2

Escrevendo direito:
mddot x + kx = F0cos(omega t),
onde x(t) = xrm h(t) + xrm p(t), . A solução geral é
xrm h(t) = Acos(omega0 t) + Bsin(omega0 t)
com
e uma “particular” que a gente ajusta pra forçante. Para encontrar e os coeficientes da parte particular, usamos as condições iniciais (normalmente , ).

Passo 3

Agora põe xrm p(t) =F0m(omega0^2-omega^2)l(cos(omega t)-cos(omega0t)r) e procura uma particular que não dê “divergência” em . Um jeito esperto é
Observe que em o numerador some ( ), então não explode. Além disso, se você juntasse só a parte estacionária ela daria divisão por zero quando . Essa forma evita isso.

Passo 4

Falta agora levar xrm p(t) =F0ml(omega0^2-(omega0+epsilon)^2r)l[cos((omega0+epsilon)t)-cos(omega0t)r] . Escrevendo x(t);longrightarrow;F02,m,omega0;t;sin(omega0 t) temos
Como , e usando a identidade de diferença de cossenos, dá para mostrar que no limite
Esse é o crescimento linear em típico de ressonância plena.

Resposta

Não existe solução estacionária em boxed x(t)=F02,m,omega0;t;sin(omega0 t) . A solução particular no caso de ressonância é

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