P72 Uma partícula de carga q e massa m, em repouso num campo magnético B=B k, é submetida, no instante t=0, a um campo elétrico oscilante
E=E0 sin omega t i
Determine o seu movimento.

Passo 1

O enunciado trata de uma partícula de carga q e massa m, inicial em repouso, imersa num campo magnético constante
vec B = B,hat k
e sujeita, a partir de t=0, a um campo elétrico oscilante
vec E(t) = E0sinomega t,hat i
O objetivo é determinar o movimento l(vec r(t),vec v(t)r). Vamos usar a equação de Lorentz
mdvec vdt = ql(vec E + vec vtimesvec Br)
e resolver o sistema de equações de componentes em x,y.

Passo 2

Escrevendo a equação de movimento em componentes, com
com as condições iniciais (v_x(0)=v_y(0)=0].]

Passo 3

Eliminando vy, fazemos ddot vx = Omega,dot vy + tfracqE0m,omegacosomega t. Como dot vy = -Omega vx, obtemos
ddot vx + Omega^2,vx = qE0,omegamcosomega t,
que é uma EDO harmônica forçada de frequência natural Omega.

Passo 4

A solução geral para vx é soma da solução homogênea e de uma particular. Tomando
vx(t)=AcosOmega t + BsinOmega t + Ccosomega t,
substituindo em ddot vx+Omega^2vx=(qE0omega/m)cosomega t
C=qE0,omega/mOmega^2-omega^2
Impondo vx(0)=0 e dot vx(0)=0 resulta A=-C e B=0. Logo
vx(t) =;Cl(cosomega t-cosOmega tr) com C=qE0,omegam(Omega^2-omega^2)

Passo 5

Para vy, usamos dot vx=Omega,vy+(qE0/m)sinomega t. Assim
vy(t) =1Omegal[dot vx-tfracqE0msinomega tr] =qE0m(Omega^2-omega^2)l[omegasinOmega t-sinomega tr]

Passo 6

Integrando vec v(t)=(vx,vy,0) com vec r(0)=0, obtemos
x(t) =integral0^t vx(tau),dtau =qE0m(Omega^2-omega^2)l[sinomega t-omegaOmegasinOmega tr],
y(t) =integral0^t vy(tau),dtau =qE0m(Omega^2-omega^2)l[omegaOmegal(1-cosOmega tr) -1omegal(1-cosomega tr)r]

Resposta

boxed vx(t)&=qE0,omegam(Omega^2-omega^2)l[cosomega t-cosOmega tr], vy(t)&=qE0m(Omega^2-omega^2)l[omegasinOmega t-sinomega tr], vz(t)&=0,
boxed x(t)&=qE0m(Omega^2-omega^2)l[sinomega t-omegaOmegasinOmega tr], y(t)&=qE0m(Omega^2-omega^2)l[omegaOmega(1-cosOmega t)-1omega(1-cosomega t)r], z(t)&=0
onde Omega=qB/m.

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