P9.2 Determine as componentes da tensão que agem no plano inclinado (A B). Resolva o problema usando o método do equilíbrio descrito na Seção 9.1.
Passo 1
O que o enunciado pede:
- Determinar as componentes da tensão que atuam no plano inclinado
: isto é, a componente normal à superfície (tensão normal no plano) e a componente tangencial (tensão de cisalhamento no plano).
Informações relevantes dadas (peguei estes dados da imagem):
- Tração normal vertical no sentido para cima na face superior:
. - Tração horizontal associada ao eixo
(seta horizontal na base): . - O plano
faz com a vertical (conforme marcação na figura). Portanto o ângulo que o plano forma com o eixo horizontal é (vou usar este último como na transformação). - A figura não indica numericamente o valor do cisalhamento
no elemento. Como não há valor especificado na figura, vou assumir . (Se o problema original tivesse um diferente, repetir os cálculos substituindo o valor indicado.)
Resumo dos dados que vou usar explicitamente:
Passo 2
Escolha de eixos e definição das incógnitas (explicando bem o que cada símbolo significa).
- Adoto o eixo
horizontal (positivo para a direita) e o eixo vertical (positivo para cima). -
é a tensão normal na face normal ao eixo (tensão no sentido do eixo ). -
é a tensão normal na face normal ao eixo . -
é a tensão de cisalhamento que age na face normal ao eixo na direção (nos convenções usuais, para equilíbrio). - No plano inclinado
a ser analisado queremos: -
: componente normal da tensão sobre o plano (positiva se tração). -
: componente de cisalhamento atuando tangencialmente ao plano (módulo da tensão de cisalhamento no plano).
-
O método do equilíbrio (ideia): recorta-se o elemento e escreve-se o equilíbrio de forças nas direções
e
para uma pequena área triangular obtida ao cortar o elemento ao longo do plano inclinado. A partir disso obtem-se expressões para a resultante (tração) na face inclinada; essas expressões são as fórmulas de transformação de tensões que agora vamos deduzir passo a passo.
Passo 3
Dedução das fórmulas por equilíbrio (desenvolvimento passo a passo).
-
Considere um pequeno elemento de espessura unitária; corte-o pelo plano inclinado que forma ângulo
com o eixo . Para facilitar a conta, considere que a face vertical (normal ao eixo ) tem área , a face horizontal (normal ao eixo ) tem área e a face inclinada tem área . Tomando um pequeno retângulo de lados e , a relação geométrica entre as áreas é: (Essas relações vêm de projetar a face inclinada nas direçõese .) -
Forças atuantes (magnitudes) em cada face (para espessura unitária):
- Na face normal a
: força horizontal (positiva para a direita). - Na face normal a
: força vertical (positiva para cima). - Na face inclinada: a tração resultante é composta da componente normal à face
(direção da normal) e da componente tangencial (direção tangente). Vamos projetar essas forças nas direções e .
- Na face normal a
-
Projeção das forças da face inclinada:
- A componente normal
projeta-se em como e em como . - A componente tangencial
projeta-se em como e em como . (Os sinais dependem da orientação escolhida; aqui adoto a orientação tal que as projeções ficam com esses sinais – isso é a convenção típica ao resolver o equilíbrio.)
- A componente normal
-
Agora escrevemos o equilíbrio de forças em
e em (somatório das componentes horizontais e verticais = 0).
Equilíbrio em: Equilíbrio em: -
Dividindo ambas as equações por
e usando e (essas relações decorrem da geometria do triângulo), obtemos:
- Rearranjando as duas equações para isolar
e :
-
Multiplicando a primeira por
e a segunda por e somando, obtemos expressão para : O termo comcancela, e usando chega-se a: (Aqui substituína forma geral: se existem termos adicionais; na dedução pelo equilíbrio direto eles aparecem quando se leva em conta as componentes de cisalhamento nas faces e . A forma geral completa é essa mostrada acima.) -
Para
(cisalhamento no plano): subtraindo a multiplicação adequada das duas equações ou usando a manipulação padrão chega-se à expressão conhecida: Essas duas fórmulas são as fórmulas de transformação de tensões (versão direta, medidas em componente normal/tangencial em plano cujo ângulo comé ). Vou agora aplicar essas fórmulas com os números do problema.
Passo 4
Aplicação numérica (substituindo os valores que peguei da figura e a assunção
). Lembrete:
, então
Cálculo de
:
Cálculo de
:
Arredondando com precisão adequada para tensões em MPa:
Passo 5
Interpretação dos sinais e comentários finais (didático e motivador).
- Ambos os valores são positivos segundo as convenções adotadas:
indica que a componente normal no plano é de tração (puxando), e indica que existe um cisalhamento de sentido acordado pelas projeções que usamos. - Se a figura do enunciado, na verdade, tivesse um valor não nulo de
, basta repetir os cálculos usando esse valor na fórmula: as expressões que usei são gerais e valem para qualquer .
Força na prova: aprenda estas duas fórmulas principais de transformação de tensões — elas surgem diretamente do equilíbrio de forças em um pequeno elemento — e pratique aplicá‑las com atenção à definição do ângulo
(medido a partir do eixo
até a normal do plano ou até o próprio plano, conforme a fórmula usada). Vai dar certo — respira e confia!