P9.2 Determine as componentes da tensão que agem no plano inclinado (A B). Resolva o problema usando o método do equilíbrio descrito na Seção 9.1.

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Determinar as componentes da tensão que atuam no plano inclinado AB: isto é, a componente normal à superfície (tensão normal no plano) e a componente tangencial (tensão de cisalhamento no plano).
Informações relevantes dadas (peguei estes dados da imagem):
  • Tração normal vertical no sentido para cima na face superior: \,65\\ \text{MPa}.
  • Tração horizontal associada ao eixo x (seta horizontal na base): \,20\\ \text{MPa}.
  • O plano AB faz \,30^\circ com a vertical (conforme marcação na figura). Portanto o ângulo que o plano forma com o eixo horizontal é \,60^\circ (vou usar este último como \theta na transformação).
  • A figura não indica numericamente o valor do cisalhamento \tau_{xy} no elemento. Como não há valor especificado na figura, vou assumir \tau_{xy}=0\\ \text{MPa}. (Se o problema original tivesse um \tau_{xy} diferente, repetir os cálculos substituindo o valor indicado.)
Resumo dos dados que vou usar explicitamente:
\sigma_x = 20\\ \text{MPa},\qquad \sigma_y = 65\\ \text{MPa},\qquad \tau_{xy}=0\\ \text{MPa},\qquad \theta=60^\circ.

Passo 2

Escolha de eixos e definição das incógnitas (explicando bem o que cada símbolo significa).
  • Adoto o eixo x horizontal (positivo para a direita) e o eixo y vertical (positivo para cima).
  • \sigma_x é a tensão normal na face normal ao eixo x (tensão no sentido do eixo x).
  • \sigma_y é a tensão normal na face normal ao eixo y.
  • \tau_{xy} é a tensão de cisalhamento que age na face normal ao eixo x na direção y (nos convenções usuais, \tau_{xy}=\tau_{yx} para equilíbrio).
  • No plano inclinado AB a ser analisado queremos:
    • \sigma_n: componente normal da tensão sobre o plano (positiva se tração).
    • \tau_{nt}: componente de cisalhamento atuando tangencialmente ao plano (módulo da tensão de cisalhamento no plano).
O método do equilíbrio (ideia): recorta-se o elemento e escreve-se o equilíbrio de forças nas direções x e y para uma pequena área triangular obtida ao cortar o elemento ao longo do plano inclinado. A partir disso obtem-se expressões para a resultante (tração) na face inclinada; essas expressões são as fórmulas de transformação de tensões que agora vamos deduzir passo a passo.

Passo 3

Dedução das fórmulas por equilíbrio (desenvolvimento passo a passo).
  • Considere um pequeno elemento de espessura unitária; corte-o pelo plano inclinado que forma ângulo \theta com o eixo x. Para facilitar a conta, considere que a face vertical (normal ao eixo x) tem área A_x, a face horizontal (normal ao eixo y) tem área A_y e a face inclinada tem área A_n. Tomando um pequeno retângulo de lados L_x e L_y, a relação geométrica entre as áreas é:
    A_x = L_y,\qquad A_y = L_x,\qquad A_n = \frac{L_x}{\cos\theta} = \frac{L_y}{\sin\theta}.
    (Essas relações vêm de projetar a face inclinada nas direções x e y.)
  • Forças atuantes (magnitudes) em cada face (para espessura unitária):
    • Na face normal a x: força horizontal \sigma_x A_x (positiva para a direita).
    • Na face normal a y: força vertical \sigma_y A_y (positiva para cima).
    • Na face inclinada: a tração resultante é composta da componente normal à face \sigma_n A_n (direção da normal) e da componente tangencial \tau_{nt} A_n (direção tangente). Vamos projetar essas forças nas direções x e y.
  • Projeção das forças da face inclinada:
    • A componente normal \sigma_n A_n projeta-se em x como \sigma_n A_n \cos\theta e em y como \sigma_n A_n \sin\theta.
    • A componente tangencial \tau_{nt} A_n projeta-se em x como -\tau_{nt} A_n \sin\theta e em y como +\tau_{nt} A_n \cos\theta. (Os sinais dependem da orientação escolhida; aqui adoto a orientação tal que as projeções ficam com esses sinais – isso é a convenção típica ao resolver o equilíbrio.)
  • Agora escrevemos o equilíbrio de forças em x e em y (somatório das componentes horizontais e verticais = 0).
    Equilíbrio em x:
    \sigma_x A_x - \sigma_n A_n\cos\theta + \tau_{nt} A_n\sin\theta = 0.
    Equilíbrio em y:
    \sigma_y A_y - \sigma_n A_n\sin\theta - \tau_{nt} A_n\cos\theta = 0.
  • Dividindo ambas as equações por A_n e usando A_x/A_n=\cos\theta e A_y/A_n=\sin\theta (essas relações decorrem da geometria do triângulo), obtemos:
    \sigma_x\cos\theta - \sigma_n\cos\theta + \tau_{nt}\sin\theta = 0,
\sigma_y\sin\theta - \sigma_n\sin\theta - \tau_{nt}\cos\theta = 0.
  • Rearranjando as duas equações para isolar \sigma_n e \tau_{nt}: \sigma_n\cos\theta = \sigma_x\cos\theta + \tau_{nt}\sin\theta,
\sigma_n\sin\theta = \sigma_y\sin\theta - \tau_{nt}\cos\theta.
  • Multiplicando a primeira por \cos\theta e a segunda por \sin\theta e somando, obtemos expressão para \sigma_n:
    \sigma_n(\cos^2\theta+\sin^2\theta) = \sigma_x\cos^2\theta + \sigma_y\sin^2\theta + \tau_{nt}( \sin\theta\cos\theta - \sin\theta\cos\theta ).
    O termo com \tau_{nt} cancela, e usando \cos^2\theta+\sin^2\theta=1 chega-se a:
    \boxed{\displaystyle \sigma_n = \sigma_x\cos^2\theta + \sigma_y\sin^2\theta + 2\tau_{xy}\sin\theta\cos\theta.}
    (Aqui substituí \tau_{xy} na forma geral: se \tau_{xy}\neq 0 existem termos adicionais; na dedução pelo equilíbrio direto eles aparecem quando se leva em conta as componentes de cisalhamento nas faces x e y. A forma geral completa é essa mostrada acima.)
  • Para \tau_{nt} (cisalhamento no plano): subtraindo a multiplicação adequada das duas equações ou usando a manipulação padrão chega-se à expressão conhecida:
    \boxed{\displaystyle \tau_{nt} = (\sigma_y-\sigma_x)\sin\theta\cos\theta + \tau_{xy}(\cos^2\theta-\sin^2\theta).}
    Essas duas fórmulas são as fórmulas de transformação de tensões (versão direta, medidas em componente normal/tangencial em plano cujo ângulo com x é \theta). Vou agora aplicar essas fórmulas com os números do problema.

Passo 4

Aplicação numérica (substituindo os valores que peguei da figura e a assunção \tau_{xy}=0). Lembrete: \theta=60^\circ, então
\cos60^\circ = 0{,}5,\qquad \sin60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}\approx 0{,}8660254.
Cálculo de \sigma_n:
\begin{aligned} \sigma_n &= \sigma_x\cos^2\theta + \sigma_y\sin^2\theta + 2\tau_{xy}\sin\theta\cos\theta \\\ &= 20\cdot(0{,}5)^2 + 65\cdot(0{,}8660254)^2 + 2\cdot 0 \cdot(0{,}8660254)(0{,}5)\\\ &= 20\cdot 0{,}25 + 65\cdot 0{,}75 + 0\\\ &= 5 + 48{,}75\\\ &= 53{,}75\\ \text{MPa}. \end{aligned}
Cálculo de \tau_{nt}:
\begin{aligned} \tau_{nt} &= (\sigma_y-\sigma_x)\sin\theta\cos\theta + \tau_{xy}(\cos^2\theta-\sin^2\theta)\\\ &= (65-20)\cdot(0{,}8660254)(0{,}5) + 0\cdot(0{,}25-0{,}75)\\\ &= 45\cdot 0{,}4330127 + 0\\\ &\approx 19{,}485572\\ \text{MPa}. \end{aligned}
Arredondando com precisão adequada para tensões em MPa:
\sigma_n \approx 53{,}75\\ \text{MPa},\qquad \tau_{nt} \approx 19{,}49\\ \text{MPa}.

Passo 5

Interpretação dos sinais e comentários finais (didático e motivador).
  • Ambos os valores são positivos segundo as convenções adotadas: \sigma_n>0 indica que a componente normal no plano AB é de tração (puxando), e \tau_{nt}>0 indica que existe um cisalhamento de sentido acordado pelas projeções que usamos.
  • Se a figura do enunciado, na verdade, tivesse um valor não nulo de \tau_{xy}, basta repetir os cálculos usando esse valor na fórmula: as expressões que usei são gerais e valem para qualquer \tau_{xy}.
Força na prova: aprenda estas duas fórmulas principais de transformação de tensões — elas surgem diretamente do equilíbrio de forças em um pequeno elemento — e pratique aplicá‑las com atenção à definição do ângulo \theta (medido a partir do eixo x até a normal do plano ou até o próprio plano, conforme a fórmula usada). Vai dar certo — respira e confia!

Resposta

\sigma_n = 53{,}75\\ \text{MPa}
\tau_{nt} = 19{,}49\\ \text{MPa}

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