Um movimento harmônico tem uma amplitude de 0,05 \mathrm{~m} e uma frequência de 10 Hz . Determine seu período, velocidade máxima e aceleração máxima.

Passo 1

O enunciado nos dá os seguintes dados e pede coisas claras (vou listar tudo para não nos perder):
  • Amplitude: A=0{,}05\\ \mathrm{m}.
  • Frequência: f=10\\ \mathrm{Hz}.
O que é pedido:
  1. Determinar o período T.
  2. Determinar a velocidade máxima v_{\max}.
  3. Determinar a aceleração máxima a_{\max}.

Passo 2

Primeiro conceito importante: o período T é o tempo que o movimento leva para completar uma oscilação inteira. A relação entre período e frequência é simples e muito usada:
T=\frac{1}{f}.
Aqui f é a frequência em hertz (Hz), que significa ciclos por segundo, e T fica em segundos.
Agora aplico com f=10\\ \mathrm{Hz}:
T=\frac{1}{10}=0{,}1\\ \mathrm{s}.

Passo 3

Para falar de velocidade máxima e aceleração máxima usamos a pulsação (frequência angular) \omega, definida por:
\omega = 2\pi f.
Explicando: \omega mede quantos radianos por segundo a fase do movimento percorre. A unidade é \mathrm{rad/s}. Substituindo f=10\\ \mathrm{Hz}:
\omega = 2\pi\cdot 10 = 20\pi\\ \mathrm{rad/s}.
Se quiser uma aproximação numérica, \pi\approx 3{,}1416, então \omega\approx 62{,}832\\ \mathrm{rad/s}. (Guarde a forma exata 20\pi — facilita contas.)

Passo 4

Agora vamos à velocidade. Um movimento harmônico simples pode ser escrito, por exemplo, como
x(t)=A\cos(\omega t+\varphi),
onde x(t) é a posição no tempo t, A é a amplitude, \omega é a pulsação e \varphi é a fase inicial (não precisamos do valor de \varphi para máximos). A velocidade é a derivada da posição:
v(t)=\frac{dx}{dt}=-A\omega\sin(\omega t+\varphi).
A velocidade máxima em módulo é a amplitude da função v(t), ou seja
v_{\max}=A\omega.
Substituindo A=0{,}05\\ \mathrm{m} e \omega=20\pi\\ \mathrm{rad/s}:
v_{\max}=0{,}05\cdot 20\pi = 1\pi = \pi\\ \mathrm{m/s}.
Em número, isso é aproximadamente
v_{\max}\approx 3{,}1416\\ \mathrm{m/s}.

Passo 5

Para a aceleração, derivamos a velocidade (ou diretamente derivamos duas vezes x(t)):
a(t)=\frac{dv}{dt}=-A\omega^{2}\cos(\omega t+\varphi).
A amplitude (valor máximo em módulo) da aceleração é
a_{\max}=A\omega^{2}.
Calculemos \omega^{2}: com \omega=20\pi,
\omega^{2}=(20\pi)^{2}=400\pi^{2}.
Então
a_{\max}=0{,}05\cdot 400\pi^{2}=20\pi^{2}\\ \mathrm{m/s^{2}}.
Aproximação numérica com \pi^{2}\approx 9{,}8696:
a_{\max}\approx 20\cdot 9{,}8696 \approx 197{,}392\\ \mathrm{m/s^{2}}.
Arredondando razoavelmente, a_{\max}\approx 197{,}4\\ \mathrm{m/s^{2}}.

Passo 6

Resumo rápido para decorar (útil na prova):
  • T=\dfrac{1}{f}.
  • \omega=2\pi f.
  • v_{\max}=A\omega.
  • a_{\max}=A\omega^{2}.
Você já tem as formas exatas ( \pi e \pi^{2}) que muitas vezes são elegantes na resposta e evitam erros de arredondamento. Força aí! Vai dar certo — respira, aprende essas fórmulas e aplica.

Resposta

T=0{,}1\\ \mathrm{s}
v_{\max}=\pi\\ \mathrm{m/s}\\ (\approx 3{,}1416\\ \mathrm{m/s})
a_{\max}=20\pi^{2}\\ \mathrm{m/s^{2}}\\ (\approx 197{,}4\\ \mathrm{m/s^{2}})

Exercícios relacionados