Expresse o número complexo
na forma exponencial
.
Passo 1
O enunciado pede para escrever o número complexo
na forma exponencial
.
Informações dadas:
Informações dadas:
- Parte real:
. - Parte imaginária:
.
O objetivo é encontrar o módulo(um número real positivo) e um argumento (um ângulo em radianos) tais que
Passo 2
Definição e cálculo do módulo: para
o módulo é
Aqui
e
, portanto
Explicando: o módulo é a distância do ponto
à origem no plano complexo; calculamos com o teorema de Pitágoras.
Passo 3
Definição do argumento
: é o ângulo entre o eixo real positivo e o vetor que representa
. Para
e
(primeiro quadrante) vale a fórmula simples
Aqui
Também posso escrever as razões trigonométricas correspondentes:
Verificação rápida:
, consistente.
Passo 4
Valor numérico aproximado do argumento (opcional, para intuição):
, então
Lembrete importante: o argumento é multi‑valor, ou seja, pode-se somar
com
sem alterar o número complexo. A forma exponencial com o argumento principal usa
no intervalo
(aqui o
dado por
já está nesse intervalo).
Passo 5
Construção final da forma exponencial: usando a identidade de Euler
, temos
com
. Verificação direta:
logo a forma exponencial recupera
.