Expresse o número complexo 5+2 \mathrm{i} na forma exponencial \mathrm{Ae}^{\mathrm{i} \theta}.

Passo 1

O enunciado pede para escrever o número complexo 5+2\mathrm{i} na forma exponencial \mathrm{A}e^{\mathrm{i}\theta}.
Informações dadas:
  • Parte real: x=5.
  • Parte imaginária: y=2.
    O objetivo é encontrar o módulo \mathrm{A} (um número real positivo) e um argumento \theta (um ângulo em radianos) tais que
5+2\mathrm{i}=\mathrm{A}e^{\mathrm{i}\theta}.

Passo 2

Definição e cálculo do módulo: para z=x+yi o módulo é
\mathrm{A}=|z|=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
Aqui x=5 e y=2, portanto
\mathrm{A}=\sqrt{5^{2}+2^{2}}=\sqrt{25+4}=\sqrt{29}.
Explicando: o módulo é a distância do ponto (x,y) à origem no plano complexo; calculamos com o teorema de Pitágoras.

Passo 3

Definição do argumento \theta: é o ângulo entre o eixo real positivo e o vetor que representa z. Para x>0 e y>0 (primeiro quadrante) vale a fórmula simples
\theta=\arctan\!\left(\frac{y}{x}\right).
Aqui
\theta=\arctan\!\left(\frac{2}{5}\right).
Também posso escrever as razões trigonométricas correspondentes:
\cos\theta=\frac{x}{\mathrm{A}}=\frac{5}{\sqrt{29}},\qquad \sin\theta=\frac{y}{\mathrm{A}}=\frac{2}{\sqrt{29}}.
Verificação rápida: \cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta=\dfrac{25+4}{29}=1, consistente.

Passo 4

Valor numérico aproximado do argumento (opcional, para intuição): \dfrac{y}{x}=\dfrac{2}{5}=0,4, então
\theta\approx\arctan(0,4)\approx0,380506\\ \text{rad}\approx21,801^\circ.
Lembrete importante: o argumento é multi‑valor, ou seja, pode-se somar 2\pi k com k\in\mathbb{Z} sem alterar o número complexo. A forma exponencial com o argumento principal usa \theta no intervalo (-\pi,\pi] (aqui o \theta dado por \arctan(2/5) já está nesse intervalo).

Passo 5

Construção final da forma exponencial: usando a identidade de Euler e^{\mathrm{i}\theta}=\cos\theta+\mathrm{i}\sin\theta, temos
5+2\mathrm{i}=\sqrt{29}\bigg(\cos\theta+\mathrm{i}\sin\theta\bigg)=\sqrt{29}\,e^{\mathrm{i}\theta},
com \theta=\arctan\!\left(\dfrac{2}{5}\right). Verificação direta:
\sqrt{29}\cos\theta=\sqrt{29}\cdot\frac{5}{\sqrt{29}}=5,\qquad \sqrt{29}\sin\theta=\sqrt{29}\cdot\frac{2}{\sqrt{29}}=2,
logo a forma exponencial recupera 5+2\mathrm{i}.

Resposta

\sqrt{29}\,e^{\mathrm{i}\arctan\!\left(\dfrac{2}{5}\right)}

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