1. Um paciente de um hospital recebe 5 unidades intravenosas de uma certa droga por hora. A droga é eliminada exponencialmente, de modo que que a fração que permanece no corpo do paciente por t horas é f(t)=\epsilon^{\frac{-t}{10}}. Se o tratamento continua indefinidamente, aproximadamente quantas unidades da droga estarão no corpo do paciente a longo prazo?
    N(t) é o número de unidades da droga que permanece no corpo do paciente e r(t)=5 é a taxa da droga injetada no paciente por hora. Temos então:
    N(t)=\int_{0}^{+\infty} 5 \epsilon^{\frac{-t}{10}} d t
    N(t)=\lim _{b \rightarrow+\infty} \int_{0}^{b} 5 \epsilon^{\frac{-t}{10}} d t
    N(t)=\lim _{b \rightarrow+\infty}-50\left[\epsilon^{\frac{-t}{10}}\right]_{0}^{b}
    N(t)=\lim _{b \rightarrow+\infty}-50\left(\epsilon^{\frac{-b}{10}}-1\right)
    N(t)=50 unidades da droga.

Passo 1

Resumindo o enunciado: o paciente recebe continuamente 5 unidades da droga por hora, e a eliminação é exponencial, de modo que a fração que permanece após t horas é
f(t)=e^{-t/10}.
Queremos saber, em regime permanente (tratamento indefinido), quantas unidades da droga estarão no corpo, modelando a acumulação por uma integral imprópria.

Passo 2

Em regime permanente, o total acumulado N é dado por
N=\int_{0}^{\infty}5\,e^{-t/10}\,dt,
onde 5 é a taxa de infusão (unidades/h) e e^{-t/10} é a fração remanescente após t horas.

Passo 3

Calculamos uma primitiva de 5\,e^{-t/10}. Como
\frac{d}{dt}\bigl(e^{-t/10}\bigr)=-\tfrac{1}{10}e^{-t/10},
temos
\int 5\,e^{-t/10}\,dt =5\int e^{-t/10}\,dt =5\bigl(-10\,e^{-t/10}\bigr) =-50\,e^{-t/10}.

Passo 4

Aplicando os limites de 0 a \infty:
N =\lim_{b\to\infty}\Bigl[-50\,e^{-t/10}\Bigr]_{0}^{b} =\lim_{b\to\infty}\bigl(-50\,e^{-b/10}+50\,e^{0}\bigr).

Passo 5

Como \lim_{b\to\infty}e^{-b/10}=0 e e^{0}=1, obtemos
N=0+50=50.

Resposta

A longo prazo haverá aproximadamente 50 unidades da droga no corpo do paciente.

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