- Um paciente de um hospital recebe 5 unidades intravenosas de uma certa droga por hora. A droga é eliminada exponencialmente, de modo que que a fração que permanece no corpo do paciente por
horas é
. Se o tratamento continua indefinidamente, aproximadamente quantas unidades da droga estarão no corpo do paciente a longo prazo?
é o número de unidades da droga que permanece no corpo do paciente e
é a taxa da droga injetada no paciente por hora. Temos então:
unidades da droga.
Passo 1
Resumindo o enunciado: o paciente recebe continuamente
unidades da droga por hora, e a eliminação é exponencial, de modo que a fração que permanece após
horas é
Queremos saber, em regime permanente (tratamento indefinido), quantas unidades da droga estarão no corpo, modelando a acumulação por uma integral imprópria.
Passo 2
Em regime permanente, o total acumulado
é dado por
onde
é a taxa de infusão (unidades/h) e
é a fração remanescente após
horas.
Passo 3
Calculamos uma primitiva de
. Como
temos
Passo 4
Aplicando os limites de
a
:
Passo 5
Como
e
, obtemos
Resposta
A longo prazo haverá aproximadamente
unidades da droga no corpo do paciente.