Suponha que o tempo médio de espera para um cliente ser atendido pelo funcionário da firma para a qual ele está ligando seja 5 minutos.
Calcule a probabilidade do consumidor esperar mais que cinco minutos para ser atendido.
A probabilidade de o consumidor esperar mais de cinco minutos é:
P(T>5)=\int_{5}^{\infty} f(t) d t=\int_{5}^{\infty} 0.2 \epsilon^{\frac{-t}{5}} d t
P(T>5)=\lim _{x \rightarrow \infty} \int_{5}^{x} 0.2 \epsilon^{\frac{-t}{5}} d t
P(T>5)=\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\epsilon^{-1}-\epsilon^{\frac{-x}{5}}\right)
P(T>5)=\frac{1}{\epsilon}
P(T>5) \cong 0.368
Cerca de 37 \% dos consumidores esperam mais que cinco minutos antes de terem sua ligação atendida.

Passo 1

O enunciado diz que o tempo de espera T segue uma distribuição exponencial com tempo médio de espera igual a 5 minutos. O conteúdo aqui é distribuição exponencial, em que se usa a densidade
f(t)=\lambda e^{-\lambda t},\quad t\ge0
e sabemos que a média é \mathbb{E}[T]=1/\lambda.

Passo 2

Como \mathbb{E}[T]=5, temos
\lambda=\frac{1}{5}=0{,}2.
Logo a densidade é
f(t)=0{,}2\,e^{-0{,}2t},\quad t\ge0.

Passo 3

Queremos calcular
P(T>5)=\int_{5}^{\infty}f(t)\,dt =\int_{5}^{\infty}0{,}2\,e^{-0{,}2t}\,dt.

Passo 4

Fazendo a integral imprópria, note que
\int 0{,}2\,e^{-0{,}2t}\,dt =-e^{-0{,}2t}+C.
Avaliando de t=5 a t\to\infty
P(T>5) =\lim_{x\to\infty}\Bigl[-e^{-0{,}2t}\Bigr]_{t=5}^{t=x} =\lim_{x\to\infty}\bigl(-e^{-0{,}2x}+e^{-1}\bigr) =e^{-1}.

Passo 5

Portanto,
P(T>5)=e^{-1}\approx0{,}368.
Isto significa que cerca de 37\% dos clientes esperam mais de 5 minutos.

Resposta

P(T>5)=e^{-1}\approx0{,}368\quad(\approx37\%).

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