Um par de engrenagens cilíndricas retas é usado para reduzir a velocidade de um motor elétrico. O pinhão (engrenagem motora) possui 20 dentes e gira a 1.500 rpm, enquanto a engrenagem movida possui 80 dentes.
a) determine a relação de transmissão
b) calcule a velocidade de rotação da engrenagem movida.
c) se o motor fornece torque de 40 \mathrm{~N} \cdot \mathrm{~m}, estime o torque no eixo movido, desconsiderando perdas.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que ele pede.
  • Dados fornecidos:
    • Pinhão (engrenagem motora): número de dentes N_1 = 20.
    • Velocidade do pinhão: n_1 = 1500\\ \mathrm{rpm}.
    • Engrenagem movida: número de dentes N_2 = 80.
    • Torque no motor (eixo do pinhão): T_1 = 40\\ \mathrm{N\cdot m}.
  • Perguntas:
    a) Determinar a relação de transmissão.
    b) Calcular a velocidade de rotação da engrenagem movida n_2.
    c) Estimar o torque no eixo movido T_2, desconsiderando perdas.

Passo 2

Conceitos básicos e fórmulas que vamos usar (com explicação didática e intuitiva).
  • Quando duas engrenagens cilíndricas externas engrenam, a velocidade linear na periferia (velocidade tangencial) em contato é a mesma para as duas. Se r_1 e r_2 são os raios e \omega_1 e \omega_2 as velocidades angulares (rad/s), então a igualdade da velocidade tangencial é
\omega_1 r_1 = \omega_2 r_2.
  • O número de dentes é proporcional ao raio: N \propto r. Assim podemos escrever r_1/r_2 = N_1/N_2.
  • A velocidade angular está relacionada à rotação em rpm por \omega = 2\pi \dfrac{n}{60}. Se usarmos razões entre velocidades, o fator 2\pi/60 cancela.
  • Combinando tudo, obtemos a relação entre as rotações em rpm:
\frac{n_1}{n_2} = \frac{r_2}{r_1} = \frac{N_2}{N_1}.
Esta é a relação de redução típica: se \dfrac{n_1}{n_2}>1, o eixo de saída gira mais devagar (redução).
  • Definição que vou usar para “relação de transmissão”: vou tomar
i=\frac{n_1}{n_2},
isto é, razão entre velocidade do eixo de entrada (motor/pinhão) e velocidade do eixo de saída (engrenagem movida). Essa definição é comum em máquinas: i>1 significa redução.

Passo 3

Aplicando a fórmula da relação de velocidades usando os números de dentes dados.
  • Usando
\frac{n_1}{n_2}=\frac{N_2}{N_1},
substituo N_1=20 e N_2=80:
i=\frac{n_1}{n_2}=\frac{N_2}{N_1}=\frac{80}{20}.
  • Fazendo a conta: \dfrac{80}{20}=4.

Passo 4

Interpretação do resultado do passo anterior (curto e motivador).
  • A relação de transmissão i=4 significa que o pinhão gira 4 vezes para cada volta da engrenagem movida; ou seja, o sistema reduz a velocidade por um fator 4 (redução 4:1).

Passo 5

Calcular a velocidade de rotação da engrenagem movida n_2.
  • Da definição i=\dfrac{n_1}{n_2} isolamos n_2:
n_2=\frac{n_1}{i}.
  • Substituindo n_1=1500\\ \mathrm{rpm} e i=4:
n_2=\frac{1500}{4}.
  • Fazendo a divisão: n_2=375\\ \mathrm{rpm}.

Passo 6

Como o torque se transforma em engrenagens (intuição + fórmula).
  • Em ausência de perdas (ou seja, engrenamento ideal), a potência mecânica transmitida é conservada. A potência em rotações é
P = T\omega,
onde T é o torque (N·m) e \omega é a velocidade angular (rad/s).
  • Igualando potências de entrada e saída:
T_1\omega_1 = T_2\omega_2.
  • Usando \omega = 2\pi \dfrac{n}{60}, o fator 2\pi/60 cancela ao formar a razão \dfrac{\omega_1}{\omega_2} = \dfrac{n_1}{n_2}. Assim
T_2 = T_1\frac{\omega_1}{\omega_2} = T_1\frac{n_1}{n_2}.
  • Como \dfrac{n_1}{n_2}=i, temos a forma simples
T_2 = T_1 \, i.
Isto diz que, em redução, o torque aumenta pelo mesmo fator da redução — intuitivamente: diminuir a velocidade aumenta o torque (alavanca mecânica).

Passo 7

Calcular o torque na engrenagem movida T_2 usando os valores dados.
  • Substituindo T_1=40\\ \mathrm{N\cdot m} e i=4 na fórmula:
T_2 = 40 \times 4.
  • Fazendo a conta: T_2 = 160\\ \mathrm{N\cdot m}.

Passo 8

Observações finais rápidas e dica para prova (motivação e cuidado).
  • Resultado rápido para decorar o raciocínio em prova: “relação de dentes é inversa às rotações; torque escala com a razão de redução”.
  • Atenção: se as engrenagens fossem internas ou houvesse um conjunto com mais estágios, a contagem do sentido de rotação e o produto das razões deve ser considerado. Aqui, problema simples e direto.
  • Boa! Você checou unidades e a ideia física — isso é o que o examinador gosta. Vai na fé, mandou bem ao estudar isso agora.

Resposta

i = 4
n_2 = 375\\ \mathrm{rpm}
T_2 = 160\\ \mathrm{N\cdot m}

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