Um par de engrenagens cilíndricas retas é usado para reduzir a velocidade de um motor elétrico. O pinhão (engrenagem motora) possui 20 dentes e gira a 1.500 rpm, enquanto a engrenagem movida possui 80 dentes.
a) determine a relação de transmissão
b) calcule a velocidade de rotação da engrenagem movida.
c) se o motor fornece torque de
, estime o torque no eixo movido, desconsiderando perdas.
a) determine a relação de transmissão
b) calcule a velocidade de rotação da engrenagem movida.
c) se o motor fornece torque de
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que ele pede.
-
Dados fornecidos:
- Pinhão (engrenagem motora): número de dentes
. - Velocidade do pinhão:
. - Engrenagem movida: número de dentes
. - Torque no motor (eixo do pinhão):
.
- Pinhão (engrenagem motora): número de dentes
-
Perguntas:
a) Determinar a relação de transmissão.
b) Calcular a velocidade de rotação da engrenagem movida.
c) Estimar o torque no eixo movido, desconsiderando perdas.
Passo 2
Conceitos básicos e fórmulas que vamos usar (com explicação didática e intuitiva).
- Quando duas engrenagens cilíndricas externas engrenam, a velocidade linear na periferia (velocidade tangencial) em contato é a mesma para as duas. Se
e são os raios e e as velocidades angulares (rad/s), então a igualdade da velocidade tangencial é
-
O número de dentes é proporcional ao raio:
. Assim podemos escrever . -
A velocidade angular está relacionada à rotação em rpm por
. Se usarmos razões entre velocidades, o fator cancela. -
Combinando tudo, obtemos a relação entre as rotações em rpm:
Esta é a relação de redução típica: se
, o eixo de saída gira mais devagar (redução).
- Definição que vou usar para “relação de transmissão”: vou tomar
isto é, razão entre velocidade do eixo de entrada (motor/pinhão) e velocidade do eixo de saída (engrenagem movida). Essa definição é comum em máquinas:
significa redução.
Passo 3
Aplicando a fórmula da relação de velocidades usando os números de dentes dados.
- Usando
substituo
e
:
- Fazendo a conta:
.
Passo 4
Interpretação do resultado do passo anterior (curto e motivador).
- A relação de transmissão
significa que o pinhão gira 4 vezes para cada volta da engrenagem movida; ou seja, o sistema reduz a velocidade por um fator (redução 4:1).
Passo 5
Calcular a velocidade de rotação da engrenagem movida
.
- Da definição
isolamos :
- Substituindo
e :
- Fazendo a divisão:
.
Passo 6
Como o torque se transforma em engrenagens (intuição + fórmula).
- Em ausência de perdas (ou seja, engrenamento ideal), a potência mecânica transmitida é conservada. A potência em rotações é
onde
é o torque (N·m) e
é a velocidade angular (rad/s).
- Igualando potências de entrada e saída:
- Usando
, o fator cancela ao formar a razão . Assim
- Como
, temos a forma simples
Isto diz que, em redução, o torque aumenta pelo mesmo fator da redução — intuitivamente: diminuir a velocidade aumenta o torque (alavanca mecânica).
Passo 7
Calcular o torque na engrenagem movida
usando os valores dados.
- Substituindo
e na fórmula:
- Fazendo a conta:
.
Passo 8
Observações finais rápidas e dica para prova (motivação e cuidado).
- Resultado rápido para decorar o raciocínio em prova: “relação de dentes é inversa às rotações; torque escala com a razão de redução”.
- Atenção: se as engrenagens fossem internas ou houvesse um conjunto com mais estágios, a contagem do sentido de rotação e o produto das razões deve ser considerado. Aqui, problema simples e direto.
- Boa! Você checou unidades e a ideia física — isso é o que o examinador gosta. Vai na fé, mandou bem ao estudar isso agora.