Um parafuso M12x1,25, de classe 9.8 com roscas laminadas é précarregado a 85 \% da sua resistência de prova quando sujeita uma junta de 5 cm de espessura em sanduíche feita de alumínio.

Passo 1

Vamos organizar direitinho o que o enunciado dá e o que eu vou calcular (não te preocupes: eu vou fazer passo a passo como você pediu). Dados fornecidos:
  • Parafuso: \mathrm{M12\times 1{,}25} (diâmetro nominal d=12\\ \text{mm}, passo p=1{,}25\\ \text{mm}).
  • Classe do parafuso: 9{,}8.
  • As roscas são laminadas (isso melhora resistência à fadiga, mas não mudará os cálculos básicos que faremos).
  • O parafuso é pré-carregado a 85\% da sua resistência de prova.
  • Espessura da junta (grip length) em sanduíche: 5\\ \text{cm} = 50\\ \text{mm}.
O enunciado não pergunta explicitamente, então vou resolver o que costuma ser pedido nesse tipo de exercício e que você provavelmente precisa entender para a prova:
  1. Calcular a força de pré-carga aplicada no parafuso (a força axial F correspondente a 85\% da resistência de prova).
  2. Calcular o alongamento elástico do parafuso devido a essa pré-carga, assumindo que a parte a esticar é a espessura da junta ( L=50\\ \text{mm}).
Vou listar também as grandezas auxiliares que vou usar (e que serão justificadas nos próximos passos):
  • Área resistente do parafuso (área de tensão efetiva) \;A_t.
  • Módulo de Young do aço \;E (usarei o valor usual para aço de parafusos).

Passo 2

Vamos achar a área resistente do parafuso \;A_t (chamada área de tensão, que é a área útil onde a tração atua). Para rosca métrica a fórmula prática que usamos é:
A_t = \frac{\pi}{4}\bigl(d - 0{,}9382\,p\bigr)^2
onde:
  • d é o diâmetro nominal do parafuso (em mm),
  • p é o passo da rosca (em mm),
  • A_t fica em \text{mm}^2.
Aplicando aos valores do problema ( d=12\\ \text{mm}, p=1{,}25\\ \text{mm}):
d - 0{,}9382\,p = 12 - 0{,}9382\cdot 1{,}25 = 12 - 1{,}17275 = 10{,}82725\\ \text{mm}
A_t = \frac{\pi}{4}\,(10{,}82725)^2 \approx 92{,}06\\ \text{mm}^2
Explicando didaticamente: essa fórmula dá a seção mínima efetiva da rosca (o lugar por onde a tração “passa”). É essa área que usamos para converter tensão em força e vice-versa.

Passo 3

Agora precisamos da “resistência de prova” do parafuso de classe 9{,}8. Vamos lembrar o que significa a classe 9{,}8:
  • O primeiro número (9) vezes 100 dá a resistência última à tração: \;R_m = 9\cdot 100 = 900\\ \text{MPa}.
  • O segundo número (0{,}8) indica a razão entre o limite de escoamento e a resistência última, logo o limite de escoamento aproximado é \;R_e \approx 0{,}8\cdot R_m = 0{,}8\cdot 900 = 720\\ \text{MPa}.
No enunciado fala “pré-carregado a 85\% da sua resistência de prova”. Em problemas práticos e em várias provas, a “resistência de prova” costuma-se interpretar pelo limite elástico (limite de escoamento) quando se fala em carregamento seguro do parafuso — por isso vou usar R_e = 720\\ \text{MPa}. Se o professor entender por outra convenção (por exemplo usar R_m), troca-se o número e o procedimento é idêntico.
Portanto a tensão usada para a pré-carga é:
\sigma = 0{,}85\cdot R_e = 0{,}85\cdot 720 = 612\\ \text{MPa}.
A força de pré-carga F é então:
F = \sigma \, A_t.
Substituindo os valores:
F = 612\\ \text{N/mm}^2 \times 92{,}06\\ \text{mm}^2 \approx 56\,341\\ \text{N}.
Interpretação: isso é cerca de 56{,}3\\ \text{kN}. Ou seja, para deixar esse parafuso pré-carregado a 85\% do limite que escolhemos, a força axial aplicada deve ser aproximadamente 56{,}3\\ \text{kN}.

Passo 4

Agora vamos calcular o alongamento elástico do parafuso devido a essa força. Para um corpo submetido à força axial, em regime elástico e uniaxial, usamos a lei de Hooke na forma:
\Delta = \frac{F\,L}{A\,E},
onde:
  • \Delta é o alongamento (mm),
  • F é a força axial (N),
  • L é o comprimento que sofre alongamento (mm) — aqui assumimos o comprimento da junta que está sendo comprimida / o trecho do parafuso que efetivamente alonga, dado como 50\\ \text{mm},
  • A é a área resistente do parafuso (aqui usamos A_t em \text{mm}^2),
  • E é o módulo de elasticidade do material (para aço usamos E \approx 210\\ \text{GPa} = 210\,000\\ \text{N/mm}^2).
Substituindo:
\Delta = \frac{56\,341\\ \text{N}\times 50\\ \text{mm}}{92{,}06\\ \text{mm}^2 \times 210\,000\\ \text{N/mm}^2}.
Calculando:
\Delta \approx \frac{2\,817\,050\\ \text{N}\cdot\text{mm}}{19\,332\,600\\ \text{N}} \approx 0{,}1458\\ \text{mm}.
Explicando: esse valor diz quanto o parafuso “esticou” por causa da pré-carga. É um alongamento pequeno, da ordem de centésimos de milímetro, típico em parafusos.

Passo 5

Resumo das hipóteses que fiz (importantíssimo na prova — sempre declare hipóteses):
  • Usei a fórmula padrão para A_t de rosca métrica.
  • Interpretei “resistência de prova” como o limite de escoamento R_e (para classe 9{,}8, R_e\approx 720\\ \text{MPa}). Se por acaso o seu professor quiser que seja usada a resistência última R_m=900\\ \text{MPa}, basta substituir 720 por 900 nas contas e refazer; o procedimento é idêntico.
  • Usei E=210\\ \text{GPa} para o aço do parafuso.
  • Assumi que o comprimento que alonga é L=50\\ \text{mm} (a espessura da junta), que é a prática mais direta quando a junta é a parte principal em tensão.
Esses detalhes são cruciais: em prova, se houver ambiguidade sobre “resistência de prova”, escreva a hipótese que você adotou e prossiga — normalmente o examinador aceita se a justificativa for clara.

Resposta

Força de pré-carga F \approx 56{,}341\\ \text{N} (≈ 56{,}3\\ \text{kN}).\nAlongamento do parafuso \Delta \approx 0{,}1458\\ \text{mm}.

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