Exercício 1) O modulo de elasticidade (E) para uma amostra de um fio de aço Cr -Mo, é de 2.1 \times 10^{11} \mathrm{~Pa}. Quando uma força de 90.000 N é aplicada numa amostra deste aço de 1,0 \mathrm{~m} de comprimento, há uma deformação de 1,00 \mathrm{~mm}. Calcule a área de secção transversal da amostra. Dado: 1 MPa (mega pascal) =1 \mathrm{~N} / \mathrm{mm}^{2}=10^{6} \mathrm{~Pa}.
Passo 1
O enunciado nos dá os seguintes dados e pede a área da secção transversal da amostra:
E = 2,1\times10^{11}\\ \mathrm{Pa}
F = 9,0\times10^{4}\\ \mathrm{N}
L = 1,0\\ \mathrm{m}
\Delta L = 1,00\\ \mathrm{mm}
Pergunta: calcule a área de secção transversal A da amostra. Observação do enunciado (usarei se precisar): 1\\ \mathrm{MPa}=1\\ \mathrm{N}/\mathrm{mm}^{2}=10^{6}\\ \mathrm{Pa}.
Passo 2
Entendendo os conceitos que vamos usar (passo-a-passo, sem pular nada):
Tensão (stress) é a força aplicada por área. Em símbolos:
\text{tensão}=\sigma=\frac{F}{A},
onde F é a força em newtons e A a área em metros quadrados (ou em \mathrm{mm}^2, se usar unidades compatíveis).
Deformação (strain) é a variação relativa do comprimento:
\text{deformação}=\varepsilon=\frac{\Delta L}{L},
onde \Delta L e L devem estar na mesma unidade (por exemplo, metros).
Módulo de elasticidade (módulo de Young) relaciona tensão e deformação linearmente (na zona elástica) por:
E=\frac{\sigma}{\varepsilon}.
Aqui E tem unidades de pressão (Pa), \sigma tem unidades de pressão e \varepsilon é adimensional.
Passo 3
A partir da definição de E podemos isolar a área A. Começamos substituindo \sigma=\dfrac{F}{A} e \varepsilon=\dfrac{\Delta L}{L} em E=\dfrac{\sigma}{\varepsilon}:
E=\frac{F/A}{\Delta L / L}=\frac{F}{A}\cdot\frac{L}{\Delta L}.
Isolando A:
A=\frac{F\,L}{E\,\Delta L}.
Essa é a fórmula que vamos aplicar. Aqui cada variável significa:
A: área da secção transversal (unidade: \mathrm{m}^2 se usarmos SI),
F: força aplicada (\mathrm{N}),
L: comprimento inicial (\mathrm{m}),
E: módulo de elasticidade (\mathrm{Pa}=\mathrm{N/m}^2),
\Delta L: deformação absoluta (\mathrm{m}).
Passo 4
Garantir consistência de unidades antes de calcular:
L já está em metros: L=1,0\\ \mathrm{m}.
Converter \Delta L de milímetros para metros: \Delta L=1,00\\ \mathrm{mm}=1,00\times10^{-3}\\ \mathrm{m}.
E já está em pascals: E=2,1\times10^{11}\\ \mathrm{Pa}.
F escrevo em notação científica para facilitar: F=9,0\times10^{4}\\ \mathrm{N}.
Passo 5
Agora substituímos os valores na fórmula A=\dfrac{F\,L}{E\,\Delta L}:
Arredondando com base nas cifras significativas dos dados (principalmente E=2,1\times10^{11} tem 2 algarismos significativos), podemos apresentar A com 2 ou 3 algarismos significativos. Vou dar aqui com 3 algarismos significativos para praticidade: