Exercício 1) O modulo de elasticidade (E) para uma amostra de um fio de aço Cr -Mo, é de 2.1 \times 10^{11} \mathrm{~Pa}. Quando uma força de 90.000 N é aplicada numa amostra deste aço de 1,0 \mathrm{~m} de comprimento, há uma deformação de 1,00 \mathrm{~mm}. Calcule a área de secção transversal da amostra. Dado: 1 MPa (mega pascal) =1 \mathrm{~N} / \mathrm{mm}^{2}=10^{6} \mathrm{~Pa}.

Passo 1

O enunciado nos dá os seguintes dados e pede a área da secção transversal da amostra:
E = 2,1\times10^{11}\\ \mathrm{Pa}
F = 9,0\times10^{4}\\ \mathrm{N}
L = 1,0\\ \mathrm{m}
\Delta L = 1,00\\ \mathrm{mm}
Pergunta: calcule a área de secção transversal A da amostra. Observação do enunciado (usarei se precisar): 1\\ \mathrm{MPa}=1\\ \mathrm{N}/\mathrm{mm}^{2}=10^{6}\\ \mathrm{Pa}.

Passo 2

Entendendo os conceitos que vamos usar (passo-a-passo, sem pular nada):
  • Tensão (stress) é a força aplicada por área. Em símbolos:
\text{tensão}=\sigma=\frac{F}{A},ã
onde F é a força em newtons e A a área em metros quadrados (ou em \mathrm{mm}^2, se usar unidades compatíveis).
  • Deformação (strain) é a variação relativa do comprimento:
\text{deformação}=\varepsilon=\frac{\Delta L}{L},çã
onde \Delta L e L devem estar na mesma unidade (por exemplo, metros).
  • Módulo de elasticidade (módulo de Young) relaciona tensão e deformação linearmente (na zona elástica) por:
E=\frac{\sigma}{\varepsilon}.
Aqui E tem unidades de pressão (Pa), \sigma tem unidades de pressão e \varepsilon é adimensional.

Passo 3

A partir da definição de E podemos isolar a área A. Começamos substituindo \sigma=\dfrac{F}{A} e \varepsilon=\dfrac{\Delta L}{L} em E=\dfrac{\sigma}{\varepsilon}:
E=\frac{F/A}{\Delta L / L}=\frac{F}{A}\cdot\frac{L}{\Delta L}.
Isolando A:
A=\frac{F\,L}{E\,\Delta L}.
Essa é a fórmula que vamos aplicar. Aqui cada variável significa:
  • A: área da secção transversal (unidade: \mathrm{m}^2 se usarmos SI),
  • F: força aplicada ( \mathrm{N}),
  • L: comprimento inicial ( \mathrm{m}),
  • E: módulo de elasticidade ( \mathrm{Pa}=\mathrm{N/m}^2),
  • \Delta L: deformação absoluta ( \mathrm{m}).

Passo 4

Garantir consistência de unidades antes de calcular:
  • L já está em metros: L=1,0\\ \mathrm{m}.
  • Converter \Delta L de milímetros para metros: \Delta L=1,00\\ \mathrm{mm}=1,00\times10^{-3}\\ \mathrm{m}.
  • E já está em pascals: E=2,1\times10^{11}\\ \mathrm{Pa}.
  • F escrevo em notação científica para facilitar: F=9,0\times10^{4}\\ \mathrm{N}.

Passo 5

Agora substituímos os valores na fórmula A=\dfrac{F\,L}{E\,\Delta L}:
A=\frac{9,0\times10^{4}\\ \mathrm{N}\times 1,0\\ \mathrm{m}}{2,1\times10^{11}\\ \mathrm{Pa}\times 1,00\times10^{-3}\\ \mathrm{m}}.
Note que \mathrm{Pa}=\mathrm{N}/\mathrm{m}^{2}, então as unidades ficam:
A=\frac{\mathrm{N}\cdot\mathrm{m}}{(\mathrm{N}/\mathrm{m}^{2})\cdot\mathrm{m}}=\mathrm{m}^{2},
ou seja, o resultado estará em \mathrm{m}^{2}, como esperado.

Passo 6

Fazendo a conta numérica passo a passo:
A=\frac{9,0\times10^{4}}{2,1\times10^{11}\times 1,00\times10^{-3}} =\frac{9,0\times10^{4}}{2,1\times10^{8}}.
Agora simplificamos:
\frac{9,0}{2,1}=\frac{90}{21}=\frac{30}{7}=4,\overline{285714}
e o fator de potência:
\frac{10^{4}}{10^{8}}=10^{-4}.
Portanto
A=4,285714\ldots\times10^{-4}\\ \mathrm{m}^{2}.

Passo 7

Converter para \mathrm{mm}^{2}, que é muitas vezes mais intuitivo para áreas de fios:
1\\ \mathrm{m}^{2}=10^{6}\\ \mathrm{mm}^{2},
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A=4,285714\ldots\times10^{-4}\\ \mathrm{m}^{2}=4,285714\ldots\times10^{-4}\times10^{6}\\ \mathrm{mm}^{2}=428,5714\ldots\\ \mathrm{mm}^{2}.
Arredondando com base nas cifras significativas dos dados (principalmente E=2,1\times10^{11} tem 2 algarismos significativos), podemos apresentar A com 2 ou 3 algarismos significativos. Vou dar aqui com 3 algarismos significativos para praticidade:
A\approx4,29\times10^{-4}\\ \mathrm{m}^{2}=429\\ \mathrm{mm}^{2}.

Resposta

A=4,285714\ldots\times10^{-4}\\ \mathrm{m}^{2}\approx4,29\times10^{-4}\\ \mathrm{m}^{2}
A\approx428,6\\ \mathrm{mm}^{2}\approx429\\ \mathrm{mm}^{2}

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