Um paralelepípedo a
possui dimensões iguais a
, sendo constituído de um material cujo coeficiente de dilatação linear é
. Determine o volume final desse paralelepípedo quando sua temperatura aumenta para
.
Passo 1
O enunciado pede o volume final de um paralelepípedo que inicialmente tem dimensões
à temperatura
e é aquecido até
. Dados fornecidos:
- dimensões iniciais:
, , ; - temperatura inicial:
; - temperatura final:
; - coeficiente de dilatação linear:
.
O que se pede: determinar o volume finalquando a temperatura aumenta de para .
Passo 2
Conceito essencial (aula curta e direta). Quando um corpo sofre dilatação linear isotrópica, cada comprimento inicial
cresce segundo a fórmula
onde:
-
é o comprimento final, -
é o comprimento inicial, -
é o coeficiente de dilatação linear (unidade ), -
é a variação de temperatura .
Intuição rápida:
é a fração de aumento do comprimento. Se
for muito pequeno (como aqui), o aumento é pequeno.
Passo 3
Calcular a variação de temperatura
:
Passo 4
Aplicar a fórmula de dilatação linear a cada dimensão. Primeiro calcule o fator comum
Agora os comprimentos finais:
Passo 5
Volume inicial e expressão exata para o volume final. O volume inicial é
Como cada dimensão é multiplicada por
, o volume final é
Passo 6
Calcular numericamente
. Usando expansão:
Agora as contas:
Somando:
Portanto
Passo 7
Verificação rápida pelo coeficiente volumétrico aproximado. Para sólidos isotrópicos costuma-se usar
. Assim
e
que coincide (dentro de arredondamento) com o valor calculado exatamente acima. Boa notícia: o método aproximado rápido funciona muito bem quando
é pequeno.