Um paralelepípedo a 20^{\circ} \mathrm{C} possui dimensões iguais a 10 \times 20 \times 30 \mathrm{~cm}, sendo constituído de um material cujo coeficiente de dilatação linear é 8,0 \times 10^{-6}{ }^{\circ} \mathrm{C}^{-1}. Determine o volume final desse paralelepípedo quando sua temperatura aumenta para 110^{\circ} \mathrm{C}.

Passo 1

O enunciado pede o volume final de um paralelepípedo que inicialmente tem dimensões 10\times20\times30\\ \mathrm{cm} à temperatura 20^\circ\mathrm{C} e é aquecido até 110^\circ\mathrm{C}. Dados fornecidos:
  • dimensões iniciais: L_{x0}=10\\ \mathrm{cm}, L_{y0}=20\\ \mathrm{cm}, L_{z0}=30\\ \mathrm{cm};
  • temperatura inicial: T_0=20^\circ\mathrm{C};
  • temperatura final: T_f=110^\circ\mathrm{C};
  • coeficiente de dilatação linear: \alpha=8,0\times10^{-6}\,^\circ\mathrm{C}^{-1}.
    O que se pede: determinar o volume final V_f quando a temperatura aumenta de T_0 para T_f.

Passo 2

Conceito essencial (aula curta e direta). Quando um corpo sofre dilatação linear isotrópica, cada comprimento inicial L_0 cresce segundo a fórmula
L_f = L_0\bigl(1+\alpha\Delta T\bigr),
onde:
  • L_f é o comprimento final,
  • L_0 é o comprimento inicial,
  • \alpha é o coeficiente de dilatação linear (unidade ^\circ\mathrm{C}^{-1}),
  • \Delta T é a variação de temperatura \Delta T=T_f-T_0.
Intuição rápida: \alpha\Delta T é a fração de aumento do comprimento. Se \alpha\Delta T for muito pequeno (como aqui), o aumento é pequeno.

Passo 3

Calcular a variação de temperatura \Delta T:
\Delta T = T_f - T_0 = 110^\circ\mathrm{C}-20^\circ\mathrm{C}=90^\circ\mathrm{C}.

Passo 4

Aplicar a fórmula de dilatação linear a cada dimensão. Primeiro calcule o fator comum
1+\alpha\Delta T = 1 + \bigl(8,0\times10^{-6}\bigr)\cdot 90 = 1 + 0,00072 = 1,00072.
Agora os comprimentos finais:
L_{x,f}=10\cdot1,00072 = 10,0072\\ \mathrm{cm},
L_{y,f}=20\cdot1,00072 = 20,0144\\ \mathrm{cm},
L_{z,f}=30\cdot1,00072 = 30,0216\\ \mathrm{cm}.

Passo 5

Volume inicial e expressão exata para o volume final. O volume inicial é
V_0 = L_{x0}L_{y0}L_{z0} = 10\cdot20\cdot30 = 6000\\ \mathrm{cm}^3.
Como cada dimensão é multiplicada por 1+\alpha\Delta T, o volume final é
V_f = V_0\bigl(1+\alpha\Delta T\bigr)^3.

Passo 6

Calcular numericamente \bigl(1+\alpha\Delta T\bigr)^3. Usando expansão:
\bigl(1,00072\bigr)^3 = 1 + 3\cdot0,00072 + 3\cdot(0,00072)^2 + (0,00072)^3.
Agora as contas:
3\cdot0,00072 = 0,00216,
(0,00072)^2 = 0,0000005184,\qquad 3\cdot(0,00072)^2 = 0,0000015552,
(0,00072)^3 \approx 0,000000000373\\ (\text{muito pequeno}).
Somando:
\bigl(1,00072\bigr)^3 \approx 1,0021615556.
Portanto
V_f = 6000\cdot1,0021615556 \approx 6012,9693336\\ \mathrm{cm}^3.

Passo 7

Verificação rápida pelo coeficiente volumétrico aproximado. Para sólidos isotrópicos costuma-se usar \beta\approx3\alpha. Assim
\Delta V \approx \beta V_0\Delta T = 3\alpha V_0\Delta T = 3\cdot(8,0\times10^{-6})\cdot6000\cdot90 = 12,96\\ \mathrm{cm}^3,
e
V_f \approx 6000 + 12,96 = 6012,96\\ \mathrm{cm}^3,
que coincide (dentro de arredondamento) com o valor calculado exatamente acima. Boa notícia: o método aproximado rápido funciona muito bem quando \alpha\Delta T é pequeno.

Resposta

V_f = 6012,97\\ \mathrm{cm}^3

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