Um inventor afirma que construiu um motor que apresenta uma eficiência de 75 \% quando opera entre as temperaturas de ebulição ( 373 K ) e congelamento ( 273 K ) da água. Isso é possível? Justifique. (Resposta: Não. O rendimento é de 27 \%.)

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (tudo pego do enunciado):
  • O inventor afirma que o motor tem eficiência \,75\%.
  • O motor opera entre a temperatura da ebulição da água \,T_H = 373\\ \text{K} (reservatório quente) e a temperatura de congelamento da água \,T_C = 273\\ \text{K} (reservatório frio).
O que o problema pede:
  • Determinar se essa afirmação é possível à luz das leis da termodinâmica e justificar a resposta.
  • Indicar qual é, na prática, o rendimento máximo possível entre essas duas temperaturas.

Passo 2

O que significa eficiência de um motor térmico? Vou explicar passo a passo, devagar, como se estivéssemos na prova.
  • Um motor térmico troca calor com dois reservatórios: absorve calor \,Q_H do reservatório quente e rejeita calor \,Q_C ao reservatório frio.
  • O trabalho entregue pelo motor é \,W = Q_H - Q_C. Aqui:
    • \,Q_H é o calor recebido do quente (unidade: joules, por exemplo),
    • \,Q_C é o calor rejeitado ao frio,
    • \,W é o trabalho útil produzido.
  • A eficiência \,\eta é a razão entre o trabalho e o calor absorvido:
\eta = \frac{W}{Q_H} = \frac{Q_H - Q_C}{Q_H} = 1 - \frac{Q_C}{Q_H}.
Expliquei cada variável: \,Q_H e \,Q_C são quantidades de calor (energia), e \eta é adimensional (ou em percentagem).

Passo 3

Qual é o rendimento máximo que um motor térmico pode ter entre duas temperaturas dadas? Aqui entra a ideia fundamental do ciclo de Carnot e da segunda lei da termodinâmica.
  • O teorema de Carnot diz que nenhum motor real pode ser mais eficiente do que um motor reversível operando entre os mesmos reservatórios; esse motor reversível é o motor de Carnot.
  • Para um ciclo reversível (Carnot) a variação total de entropia é zero. Para trocas de calor reversíveis, a entropia trocada é \, \Delta S = \frac{Q}{T}. Assim, para o ciclo reversível temos:
\frac{Q_H}{T_H} - \frac{Q_C}{T_C} = 0.
  • Dessa igualdade segue:
\frac{Q_C}{Q_H} = \frac{T_C}{T_H}.
Aqui \,T_H e \,T_C são as temperaturas absolutas dos reservatórios (em kelvin). Expliquei porque \frac{Q}{T} aparece: é a definição de entropia trocada em processos reversíveis.

Passo 4

Agora ligamos isso à eficiência. Substituindo \,\frac{Q_C}{Q_H} = \frac{T_C}{T_H} na fórmula da eficiência temos o rendimento máximo (rendimento de Carnot):
\eta_{\max} = 1 - \frac{T_C}{T_H}.
Expliquei: essa é a maior eficiência possível entre duas temperaturas dadas — nenhum motor real pode ultrapassar esse valor sem violar a segunda lei.

Passo 5

Substituindo os valores numéricos fornecidos:
  • \,T_H = 373\\ \text{K},
  • \,T_C = 273\\ \text{K}.
Calcula-se:
\eta_{\max} = 1 - \frac{273}{373} = \frac{373-273}{373} = \frac{100}{373}.
Agora converter para percentagem:
\frac{100}{373} \approx 0{,}2681\ldots \quad\Rightarrow\quad \eta_{\max}\approx 26{,}81\% \approx 27\%.
Mostrei a subtração e a divisão: a diferença \,373-273=100 e depois dividir por \,373 dá aproximadamente \,0{,}2681, ou seja cerca de \,26{,}8\%.

Passo 6

Comparando com a afirmação do inventor:
  • O inventor diz \,75\% ( \,0{,}75) de eficiência.
  • O máximo permitido pela termodinâmica entre essas temperaturas é \,\approx 27\% ( \,0{,}268).
    Portanto \,0{,}75 > 0{,}268: a afirmação é impossível.
Justificativa física curta e direta (para levar à prova): se alguém apresentasse um motor com eficiência maior do que a de Carnot entre as mesmas temperaturas, isso violaria a segunda lei da termodinâmica (permitiria construir uma máquina de movimento perpétuo de segunda espécie ou um ciclo que reduzisse a entropia do universo). Por isso não é possível.

Resposta

Não. \eta_{\max}=1-\dfrac{273}{373}=\dfrac{100}{373}\approx27\%

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