Parametrize C e depois calcule o trabalho realizado por \mathbf{F} ao longo de C.
\mathbf{F}(x, y)=y e^{x^{2}} \mathbf{i}+x e^{y^{2}} \mathbf{j} e C=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid y=x, 0 \leq x \leq 1\right\}, orientada do ponto (0,0) para o ponto (1,1).

Passo 1

O enunciado pede para parametrizar a curva C e depois calcular o trabalho
W = \int_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}
do campo vetorial \mathbf{F}(x,y) = y\,e^{x^2}\,\mathbf{i} + x\,e^{y^2}\,\mathbf{j}
ao longo da reta y=x, de (0,0) a (1,1). O conteúdo aqui é integral de linha de um campo vetorial, que exige parametrização de C.

Passo 2

Escolhemos a parametrização
\mathbf{r}(t) = (t,\,t),\quad 0\le t\le1,
pois para todo t temos x=t e y=t. Então
d\mathbf{r} = \mathbf{r}'(t)\,dt = (1,\,1)\,dt.

Passo 3

Em \mathbf{r}(t), os componentes de \mathbf{F} tornam-se
F_1(t) = y\,e^{x^2} = t\,e^{t^2},\qquad F_2(t) = x\,e^{y^2} = t\,e^{t^2}.
Logo
\mathbf{F}(\mathbf{r}(t)) \cdot \mathbf{r}'(t) = \bigl(t\,e^{t^2},\,t\,e^{t^2}\bigr)\cdot(1,1) = t\,e^{t^2} + t\,e^{t^2} = 2\,t\,e^{t^2}.

Passo 4

O trabalho é a integral de 0 a 1 de 2t\,e^{t^2}:
W = \int_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} = \int_{0}^{1} 2\,t\,e^{t^2}\,dt.
Reconhecemos que \frac{d}{dt}(e^{t^2}) = 2t\,e^{t^2}, logo
W = \bigl[e^{t^2}\bigr]_{0}^{1} = e^{1} - e^{0} = e - 1.

Resposta

O trabalho realizado por \mathbf{F} ao longo de C é e-1.

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