Uma parede composta possui três materiais: A , B e C , cujos valores de condutividade térmica e espessura estão apresentados na tabela a seguir. O material B encontra-se entre os materiais A e C, estando o material A na parte mais interna da parede e o material C na parte mais externa da parede. Operando em regime permanente, sabe-se que a temperatura na superfície externa da parede é igual a 293 K , e a temperatura na superfície interna da parede é igual a 875 \mathrm{~K} . \mathrm{Na} região interna à parede tem-se ar a uma temperatura de 1035 K. Sabendo-se que o coeficiente de transferência de calor por convecção interno é igual a 22 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} . \mathrm{K}, pede-se calcular a condutividade térmica do material B, em W/m.K. (3,0)
Material Condutividade Térmica (W/m.k) Espessura (mm)
A 18 250
B Desconhecida 150
C 50 140

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado fornece e o que pede (peguei estes números do enunciado):
  • Temperatura do ar interior: \,T_{\text{ar}}=1035\\ \mathrm{K}.
  • Temperatura na superfície interna da parede (lado interno): \,T_{\text{si}}=875\\ \mathrm{K}.
  • Temperatura na superfície externa da parede (lado externo): \,T_{\text{se}}=293\\ \mathrm{K}.
  • Coeficiente de convecção no lado interno: \,h=22\\ \mathrm{W/(m^{2}\cdot K)}.
  • Materiais e espessuras (peguei da tabela):
    • Material A: \,k_A=18\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}, \,L_A=250\\ \mathrm{mm}=0,25\\ \mathrm{m}.
    • Material B: \,k_B=\text{?}, \,L_B=150\\ \mathrm{mm}=0,15\\ \mathrm{m}.
    • Material C: \,k_C=50\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}, \,L_C=140\\ \mathrm{mm}=0,14\\ \mathrm{m}.
  • A parede está em regime permanente e os três materiais estão em série (A entre o interior e B, B entre A e C, C na face externa).
  • O que se pede: determinar a condutividade térmica do material B, \,k_B, em \mathrm{W/(m\cdot K)}.
Observação: vou trabalhar por unidade de área ( A=1\\ \mathrm{m^2}), que é o procedimento padrão para problemas de parede plana em uma dimensão.

Passo 2

Modelo físico e fórmulas-chave (aula rápida e intuitiva).
  • Em regime permanente e fluxo unidimensional, o fluxo de calor por área ( q, em \mathrm{W/m^2}) é o mesmo através de todas as resistências em série (convecção interna + condução nas três camadas).
  • É útil usar a analogia elétrica: queda de temperatura é análoga à queda de potencial, e cada camada (ou convecção) tem uma resistência térmica. A soma das resistências determina a queda total de temperatura para um dado fluxo.
  • Resistência por convecção (por unidade de área):
R_{\text{conv}}=\frac{1}{h}.
Aqui R_{\text{conv}} tem unidades \mathrm{m^2K/W} quando usamos A=1\\ \mathrm{m^2}. h é o coeficiente de convecção ( \mathrm{W/(m^{2}\cdot K)}).
  • Resistência por condução de uma placa homogênea (por unidade de área):
R_{\text{cond}}=\frac{L}{k},
onde L é a espessura (m) e k a condutividade ( \mathrm{W/(m\cdot K)}). Também tem unidades \mathrm{m^2K/W} por unidade de área.
  • A resistência total (da convecção interna mais as três camadas) é:
R_{\text{tot}}=R_{\text{conv}}+R_A+R_B+R_C.
  • O fluxo de calor por área é dado por:
q=\frac{T_{\text{ar}}-T_{\text{se}}}{R_{\text{tot}}}.
  • Alternativamente, a convecção interna relaciona diretamente q com a diferença (T_{\text{ar}}-T_{\text{si}}):
q=h\,(T_{\text{ar}}-T_{\text{si}}).
Essas duas expressões devem ser consistentes; vou usar a segunda para encontrar q primeiro, porque T_{\text{si}} é dado.

Passo 3

Calcular o fluxo de calor q usando a convecção interna (fórmula direta).
q=h\,(T_{\text{ar}}-T_{\text{si}}).
Substituindo os valores (todos em TeX):
q=22\cdot(1035-875)=22\cdot160=3520\\ \mathrm{W/m^{2}}.
Comentário: isso faz sentido físico — pela convecção entre o ar a 1035\\ \mathrm{K} e a superfície interna a 875\\ \mathrm{K} há um fluxo de 3520\\ \mathrm{W/m^2} que chega à parede e atravessa as camadas por condução.

Passo 4

Relacionar q com as resistências de condução e calcular a resistência total de condução.
A queda de temperatura através das camadas por condução é (T_{\text{si}}-T_{\text{se}}). Pela lei dos resistores térmicos:
q=\frac{T_{\text{si}}-T_{\text{se}}}{R_A+R_B+R_C}.
Isolando a soma das resistências de condução:
R_A+R_B+R_C=\frac{T_{\text{si}}-T_{\text{se}}}{q}.
Substituindo os valores:
R_A+R_B+R_C=\frac{875-293}{3520}=\frac{582}{3520}=0,165340909\\ \mathrm{m^{2}K/W}.
(Arredondarei em passos seguintes quando necessário; por enquanto mantenho alguns dígitos para evitar erros de arredondamento.)

Passo 5

Expressar cada resistência conhecida e isolar a resistência da camada B.
Resistências das camadas (por unidade de área):
R_A=\frac{L_A}{k_A}=\frac{0,25}{18}=0,013888\ldots\\ \mathrm{m^{2}K/W},
R_C=\frac{L_C}{k_C}=\frac{0,14}{50}=0,0028\\ \mathrm{m^{2}K/W}.
A soma conhecida R_A+R_C é:
R_A+R_C=0,013888\ldots + 0,0028 = 0,0166888\ldots\\ \mathrm{m^{2}K/W}.
Logo a resistência da camada B é:
R_B=(R_A+R_B+R_C)-(R_A+R_C).
Substituindo números:
R_B=0,165340909 - 0,0166888889 = 0,1486520201\\ \mathrm{m^{2}K/W}.

Passo 6

Determinar k_B a partir de R_B=\dfrac{L_B}{k_B}.
Isolando k_B:
k_B=\frac{L_B}{R_B}.
Substituindo L_B=0,15\\ \mathrm{m} e R_B=0,1486520201\\ \mathrm{m^{2}K/W}:
k_B=\frac{0,15}{0,1486520201}=1,008\ldots\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}.
Arredondando para três algarismos significativos (e usando vírgula decimal conforme enunciado):
k_B\approx1,01\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}.

Passo 7

Verificação rápida (consistência): recomputando R_A+R_B+R_C com esse k_B deve voltar ao valor usado em

Passo 8

Força aí — já temos o valor de k_B!

Resposta

k_B\approx1,01\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}

Exercícios relacionados