Um trocador de calor contracorrente de tubo duplo deve aquecer água de 20^{\circ} \mathrm{C} a 80^{\circ} \mathrm{C} a uma vazão mássica de 1,2 \mathrm{~kg} / \mathrm{s}. O aquecimento é obtido por água geotérmica disponível a 160^{\circ} \mathrm{C} com vazão mássica de 2 \mathrm{~kg} / \mathrm{s}. O tubo interno tem diâmetro de 1,5 cm e a espessura da parede pode ser considerada desprezível. Considerando que o coeficiente global de troca térmica do trocador de calor é 640 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} \mathrm{~K}. Determine o comprimento do trocador de calor necessário para atingir o aquecimento desejado empregando:
a) O método da MLDT ( \boldsymbol{R}: \boldsymbol{L}=\mathbf{1 0 9} \boldsymbol{m} )
b) O método da efetividade-NTU ( \boldsymbol{R}: \boldsymbol{L}=\mathbf{1 0 8} \boldsymbol{m} )
Compare os resultados obtidos pelos diferentes métodos.

Passo 1

O enunciado pede o comprimento L de um trocador de calor contracorrente (tubo duplo) para aquecer água fria de 20^\circ\mathrm{C} para 80^\circ\mathrm{C} com vazão mássica \,m_c=1,2\\ \mathrm{kg/s}. O aquecimento é feito por água quente disponível a 160^\circ\mathrm{C} com vazão mássica \,m_h=2,0\\ \mathrm{kg/s}. O diâmetro interno do tubo é \,d=1,5\\ \mathrm{cm}=0,015\\ \mathrm{m}. A espessura da parede é desprezível. O coeficiente global de troca térmica vale \,U=640\\ \mathrm{W/(m^2\\ K)}.
Dados extraídos do enunciado:
  • Temperatura entrada água fria: \,T_{c,i}=20^\circ\mathrm{C}.
  • Temperatura saída desejada água fria: \,T_{c,o}=80^\circ\mathrm{C}.
  • Vazão mássica água fria: \,m_c=1,2\\ \mathrm{kg/s}.
  • Temperatura entrada água quente: \,T_{h,i}=160^\circ\mathrm{C}.
  • Vazão mássica água quente: \,m_h=2,0\\ \mathrm{kg/s}.
  • Diâmetro do tubo interno: \,d=0,015\\ \mathrm{m}.
  • Coeficiente global de troca térmica: \,U=640\\ \mathrm{W/(m^2\\ K)}.
  • Espessura da parede desprezível.
O que é pedido:
  • Calcular o comprimento L usando (a) o método da MLDT (LMTD) para contracorrente; (b) o método da efetividade-NTU. Em ambos os métodos assumiremos calor específico constante da água (ver passo seguinte).

Passo 2

Assumimos que a água tem calor específico constante e aproximadamente igual a \,c_p=4180\\ \mathrm{J/(kg\\ K)}. Justificativa breve: para variações de temperatura na faixa considerada a capacidade térmica da água varia pouco; usar c_p constante simplifica e é prática comum em problemas de troca térmica.
Calculemos a taxa de calor necessária Q para aquecer a água fria:
Q = m_c\, c_p \,\left(T_{c,o}-T_{c,i}\right).
Substituindo:
Q = 1,2\cdot 4180\cdot\left(80-20\right)\\ \mathrm{W}.
Façamos as contas passo a passo:
80-20=60.
4180\cdot 60 = 250\,800\\ \mathrm{J/s} = 250\,800\\ \mathrm{W}.
Q = 1,2\cdot 250\,800 = 300\,960\\ \mathrm{W}.
Portanto \,Q=300\,960\\ \mathrm{W} (aprox. 301\\ \mathrm{kW}).

Passo 3

Pelo balanço de energia, o calor perdido pelo fluido quente é igual a Q. Assim podemos obter a temperatura de saída do fluido quente T_{h,o} por
Q = m_h\, c_p \,\left(T_{h,i}-T_{h,o}\right).
Isolando T_{h,o}:
T_{h,o}=T_{h,i}-\frac{Q}{m_h\,c_p}.
Substituindo:
T_{h,o}=160-\frac{300\,960}{2,0\cdot 4180}\\ ^\circ\mathrm{C}.
Calculemos o denominador:
2,0\cdot 4180 = 8360\\ \mathrm{W/K}.
\frac{300\,960}{8360}=36,0\\ \mathrm{K}.
Logo
T_{h,o}=160-36,0=124,0^\circ\mathrm{C}.

Passo 4

Breve explicação do LMTD (MLDT): para um trocador em contracorrente com temperaturas de entrada/saída dos dois fluidos conhecidas, define-se as diferenças de temperatura na extremidade quente e na extremidade fria:
\Delta T_1 = T_{h,i}-T_{c,o},\qquad \Delta T_2 = T_{h,o}-T_{c,i}.
A MLDT (LMTD) é a média logarítmica das duas diferenças:
\Delta T_{lm} = \frac{\Delta T_2-\Delta T_1}{\ln\!\left(\dfrac{\Delta T_2}{\Delta T_1}\right)}.
A potência térmica é dada por
Q = U\,A\,\Delta T_{lm},
onde A é a área de troca. Para um tubo cilíndrico fino e espessura desprezível, a área por comprimento é A=\pi d L. Isolando L:
L=\frac{Q}{U\,\pi d\,\Delta T_{lm}}.
Agora calculemos os termos:
\Delta T_1 = T_{h,i}-T_{c,o} = 160-80 = 80\\ \mathrm{K}.
\Delta T_2 = T_{h,o}-T_{c,i} = 124-20 = 104\\ \mathrm{K}.
Calcule a MLDT:
\Delta T_{lm} = \frac{104-80}{\ln\!\left(\dfrac{104}{80}\right)} = \frac{24}{\ln(1,3)}.
Aproximando \ln(1,3)\approx 0,262364, obtemos
\Delta T_{lm}\approx \frac{24}{0,262364}\approx 91,51\\ \mathrm{K}.
Agora compute o denominador para L:
U\,\pi d\,\Delta T_{lm} = 640\cdot \pi\cdot 0,015\cdot 91,51.
Calcule passo a passo:
\pi\cdot 0,015 \approx 0,0471239\\ \mathrm{m}.
0,0471239\cdot 91,51 \approx 4,3111\\ \mathrm{m\cdot K}.
640\cdot 4,3111 \approx 2\,759,1\\ \mathrm{W/m}.
Finalmente
L = \frac{300\,960}{2\,759,1}\\ \mathrm{m}\approx 109,0\\ \mathrm{m}.

Passo 5

Explicação didática do que fizemos no método LMTD:
  • A MLDT é usada quando as temperaturas de entrada/saída dos dois fluidos são conhecidas; ela leva em conta a variação de diferença térmica ao longo do trocador.
  • A fórmula Q=U A \Delta T_{lm} é a equação básica de transferência de calor em regime estacionário com coeficiente global U assumido constante.
  • Aqui usamos A=\pi d L porque o calor é transferido através da superfície lateral do tubo interno (comprimento L, perímetro \pi d).

Passo 6

Agora o método da efetividade-NTU. Conceitos essenciais:
  • Taxa de capacidade térmica de cada fluido: C=m c_p. Definimos C_c para o fluido que tem menor capacidade (normalmente o frio) e C_h para o outro.
  • Razão de capacidades térmicas: C = \dfrac{C_{min}}{C_{max}}.
  • Efetividade \varepsilon do trocador: razão entre o calor real e o máximo calor possível:
\varepsilon = \frac{Q}{C_{min}\left(T_{h,i}-T_{c,i}\right)}.
  • Para contracorrente, a relação entre \varepsilon, NTU e C (quando C\neq 1) é
\varepsilon = \frac{1-\exp\!\left(-NTU(1-C)\right)}{1-C\exp\!\left(-NTU(1-C)\right)},
onde \,NTU=\dfrac{U A}{C_{min}}.
Vamos aplicar:
Calculemos as capacidades térmicas:
C_c = m_c c_p = 1,2\cdot 4180 = 5\,016\\ \mathrm{W/K}.
C_h = m_h c_p = 2,0\cdot 4180 = 8\,360\\ \mathrm{W/K}.
Logo C_{min}=5\,016\\ \mathrm{W/K} e C_{max}=8\,360\\ \mathrm{W/K}. A razão
C=\frac{C_{min}}{C_{max}}=\frac{5\,016}{8\,360}=0,6.
Calcule a efetividade a partir de Q:
\varepsilon = \frac{Q}{C_{min}\left(T_{h,i}-T_{c,i}\right)} = \frac{300\,960}{5\,016\cdot(160-20)}.
160-20=140.
5\,016\cdot 140 = 702\,240.
\varepsilon = \frac{300\,960}{702\,240}\approx 0,428571.
Agora inverter a fórmula da efetividade para obter NTU. Defina m=1-C=0,4 e x=\exp(-NTU\cdot m). A expressão da efetividade dá:
\varepsilon = \frac{1-x}{1-Cx}.
Isolando x:
\varepsilon(1-Cx)=1-x \quad\Rightarrow\quad x=\frac{1-\varepsilon}{1-\varepsilon C}.
Substituindo \varepsilon e C:
x=\frac{1-0,428571}{1-0,428571\cdot 0,6}=\frac{0,571429}{1-0,257143}=\frac{0,571429}{0,742857}\approx 0,7692308.
Logo
\exp(-NTU\cdot 0,4)=0,7692308.
Tomando logaritmo:
-NTU\cdot 0,4=\ln(0,7692308)\approx -0,262364,
NTU=\frac{0,262364}{0,4}\approx 0,65591.
Agora NTU=\dfrac{U A}{C_{min}} e A=\pi d L. Isolando L:
L=\frac{NTU\cdot C_{min}}{U\,\pi d}.
Substituindo valores:
NTU\cdot C_{min}=0,65591\cdot 5\,016\approx 3\,290,0\\ \mathrm{W/K}.
U\,\pi d = 640\cdot \pi\cdot 0,015 \approx 30,1593\\ \mathrm{W/(m\\ K)}.
L=\frac{3\,290,0}{30,1593}\\ \mathrm{m}\approx 109,1\\ \mathrm{m}.

Passo 7

Comparação e comentários:
  • Resultado pelo método MLDT: L\approx 109,0\\ \mathrm{m}.
  • Resultado pelo método efetividade-NTU: L\approx 109,1\\ \mathrm{m}.
As duas metodologias deram comprimentos praticamente iguais (diferença menor que 0,1\%). Isso é esperado: ambos os métodos são formulas consistentes para o mesmo problema; diferenças numéricas pequenas vêm de arredondamentos ao longo dos cálculos ou aproximações no valor de c_p e no arredondamento de logaritmos. Em problemas reais discrepâncias ligeiras também aparecem se U variar com a temperatura, se as propriedades fluídicas mudarem com T ou se houver resistências de contato/paredes não desprezíveis.
Pequenas dicas práticas para a prova:
  • Se souber as temperaturas de entrada/saída, o método LMTD é direto; calcule LMTD e use Q=U\pi d L\Delta T_{lm}.
  • Se não souber as temperaturas de saída (por exemplo se só as vazões e as temperaturas de entrada forem dadas), use o método efetividade-NTU porque ele relaciona Q, NTU e \varepsilon sem precisar inicialmente das temperaturas de saída.
  • Sempre calcule C_{min} e C_{max} e verifique C. Para C simples (frações bonitas) muitos cancelamentos podem ocorrer, como aqui, facilitando a conta.
Força aí — está quase na prova! Não deixe de treinar mais uns exercícios parecidos para ficar confiante.

Resposta

a) L=109,0\\ \mathrm{m}
b) L=109,1\\ \mathrm{m}

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