Parede plana
.
- Escreva a equação diferencial.
- Obtenha T(x).
- Calcule q".
- Para
determine o calor total.
- Discuta efeito de dobrar L .
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado fornece e o que pede (tirei os números do enunciado):
-
Dados:
- Espessura da parede:
. - Condutividade térmica:
. - Temperatura na face esquerda (x=0):
. - Temperatura na face direita (x=L):
. - Área (para a parte 4):
.
- Espessura da parede:
-
O enunciado pede:
- Escrever a equação diferencial que rege a temperatura.
- Obter
(a distribuição de temperatura ao longo da espessura). - Calcular o fluxo de calor por unidade de área
(fluxo unidimensional, estado estacionário). - Calcular o calor total (potência) para
. - Discutir o efeito de dobrar
(o que acontece com e com o calor total).
Passo 2
Formular a equação diferencial (explicação didática):
Em regime estacionário, unidimensional e sem geração interna de calor, a conservação de energia combinada com a lei de Fourier dá, para a temperatura ,
Em regime estacionário, unidimensional e sem geração interna de calor, a conservação de energia combinada com a lei de Fourier dá, para a temperatura
Aqui:
-
é a coordenada perpendicular às faces, com na face quente e na face fria. -
é a condutividade térmica (constante no nosso problema).
Comoé constante, essa equação simplifica para
Essa é a equação diferencial pedida: segunda derivada da temperatura igual a zero (significa que a solução é uma reta).
Passo 3
Resolver a equação diferencial para obter
(passo a passo):
A equação é
A equação é
Integro uma vez em
:
onde
é constante de integração (gradiente térmico constante). Integro novamente:
onde
é outra constante. Agora uso as condições de contorno:
- Em
: dá . - Em
: dá , então
Substituindo as constantes na expressão de
:
Essa é a distribuição linear de temperatura através da parede. (Intuitivamente: a temperatura varia linearmente entre as faces quando
é constante e não há geração.)
Passo 4
Calcular o fluxo de calor por unidade de área
(lei de Fourier):
A lei de Fourier, em uma dimensão, estabelece
A lei de Fourier, em uma dimensão, estabelece
onde
é o fluxo de calor no sentido positivo de
(unidades
). Já temos
. Então
Agora numérico: a diferença de temperatura é
(a diferença em K é igual a diferença em ºC). Substituindo:
Calcule passo a passo:
Portanto o fluxo de calor (do lado quente para o frio) tem magnitude
.
Passo 5
Calcular o calor total (potência) para
:
A potência total transferida é
A potência total transferida é
Substituindo
e
:
Ou seja,
(ou melhor dizer
; em kW seria
).
Passo 6
Discutir o efeito de dobrar
(explicação e cálculo):
Relação chave: para condução estacionária unidimensional com constante,
. Assim
é inversamente proporcional a
. Se dobrarmos
(isto é,
), então
fica metade do anterior. Calculando numericamente para
:
Relação chave: para condução estacionária unidimensional com
A potência total para
será
Interpretação física e analogia: dobrar a espessura aumenta a “resistência térmica” da parede; a resistência de condução é
. Dobrar
duplica
, logo a mesma diferença de temperatura produz metade do fluxo. Em termos práticos: uma parede mais grossa reduz a transferência de calor (boa para isolamento), na razão inversa da espessura quando todos os demais parâmetros são fixos.
Resposta
-
-
-
-
- Ao dobrar
o fluxo por unidade de área fica metade: , e ; em geral (resistência térmica dobra).