Parede plana \mathrm{L}=0,10 \mathrm{~m}, \mathrm{k}=0,9 \mathrm{~W} / \mathrm{mK}, \mathrm{T} 1=250^{\circ} \mathrm{C}, \mathrm{T} 2=40^{\circ} \mathrm{C}.
  1. Escreva a equação diferencial.
  2. Obtenha T(x).
  3. Calcule q".
  4. Para \mathrm{A}=12 \mathrm{~m}^{2} determine o calor total.
  5. Discuta efeito de dobrar L .

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado fornece e o que pede (tirei os números do enunciado):
  • Dados:
    • Espessura da parede: L=0{,}10\\ \mathrm{m}.
    • Condutividade térmica: k=0{,}9\\ \mathrm{W/(m\,K)}.
    • Temperatura na face esquerda (x=0): T_1=250^\circ\mathrm{C}.
    • Temperatura na face direita (x=L): T_2=40^\circ\mathrm{C}.
    • Área (para a parte 4): A=12\\ \mathrm{m^2}.
  • O enunciado pede:
    1. Escrever a equação diferencial que rege a temperatura.
    2. Obter T(x) (a distribuição de temperatura ao longo da espessura).
    3. Calcular o fluxo de calor por unidade de área q'' (fluxo unidimensional, estado estacionário).
    4. Calcular o calor total (potência) para A=12\\ \mathrm{m^2}.
    5. Discutir o efeito de dobrar L (o que acontece com q'' e com o calor total).

Passo 2

Formular a equação diferencial (explicação didática):
Em regime estacionário, unidimensional e sem geração interna de calor, a conservação de energia combinada com a lei de Fourier dá, para a temperatura T(x),
\frac{d}{dx}\!\left(k\frac{dT}{dx}\right)=0.
Aqui:
  • x é a coordenada perpendicular às faces, com x=0 na face quente e x=L na face fria.
  • k é a condutividade térmica (constante no nosso problema).
    Como k é constante, essa equação simplifica para
\frac{d^2 T}{dx^2}=0.
Essa é a equação diferencial pedida: segunda derivada da temperatura igual a zero (significa que a solução é uma reta).

Passo 3

Resolver a equação diferencial para obter T(x) (passo a passo):
A equação é
\frac{d^2 T}{dx^2}=0.
Integro uma vez em x:
\frac{dT}{dx}=C_1,
onde C_1 é constante de integração (gradiente térmico constante). Integro novamente:
T(x)=C_1 x + C_2,
onde C_2 é outra constante. Agora uso as condições de contorno:
  • Em x=0: T(0)=T_1 C_2=T_1.
  • Em x=L: T(L)=T_2 C_1 L + T_1 = T_2, então
C_1=\frac{T_2-T_1}{L}.
Substituindo as constantes na expressão de T(x):
T(x)=T_1 + \frac{T_2-T_1}{L}\,x.
Essa é a distribuição linear de temperatura através da parede. (Intuitivamente: a temperatura varia linearmente entre as faces quando k é constante e não há geração.)

Passo 4

Calcular o fluxo de calor por unidade de área q'' (lei de Fourier):
A lei de Fourier, em uma dimensão, estabelece
q''=-k\frac{dT}{dx},
onde q'' é o fluxo de calor no sentido positivo de x (unidades \mathrm{W/m^2}). Já temos \dfrac{dT}{dx}=\dfrac{T_2-T_1}{L}. Então
q''=-k\frac{T_2-T_1}{L}=k\frac{T_1-T_2}{L}.
Agora numérico: a diferença de temperatura é T_1-T_2=250-40=210\\ \mathrm{K} (a diferença em K é igual a diferença em ºC). Substituindo:
q''=0{,}9\cdot\frac{210}{0{,}10}\\ \mathrm{W/m^2}.
Calcule passo a passo:
\frac{210}{0{,}10}=2100,
q''=0{,}9\cdot2100=1890\\ \mathrm{W/m^2}.
Portanto o fluxo de calor (do lado quente para o frio) tem magnitude q''=1890\\ \mathrm{W/m^2}.

Passo 5

Calcular o calor total (potência) para A=12\\ \mathrm{m^2}:
A potência total transferida é
\dot{Q}=q''\,A.
Substituindo q''=1890\\ \mathrm{W/m^2} e A=12\\ \mathrm{m^2}:
\dot{Q}=1890\cdot12=22\,680\\ \mathrm{W}.
Ou seja, \dot{Q}=22{,}680\\ \mathrm{kW} (ou melhor dizer \dot{Q}=22{,}680\\ \mathrm{W}; em kW seria 22{,}68\\ \mathrm{kW}).

Passo 6

Discutir o efeito de dobrar L (explicação e cálculo):
Relação chave: para condução estacionária unidimensional com k constante, q''=k(T_1-T_2)/L. Assim q'' é inversamente proporcional a L. Se dobrarmos L (isto é, L' = 2L), então q'' fica metade do anterior. Calculando numericamente para L'=0{,}20\\ \mathrm{m}:
q''{}' = 0{,}9\cdot\frac{210}{0{,}20} = 0{,}9\cdot1050 = 945\\ \mathrm{W/m^2}.
A potência total para A=12\\ \mathrm{m^2} será
\dot{Q}{}' = 945\cdot12 = 11\,340\\ \mathrm{W}.
Interpretação física e analogia: dobrar a espessura aumenta a “resistência térmica” da parede; a resistência de condução é R_\text{cond}=\dfrac{L}{kA}. Dobrar L duplica R_\text{cond}, logo a mesma diferença de temperatura produz metade do fluxo. Em termos práticos: uma parede mais grossa reduz a transferência de calor (boa para isolamento), na razão inversa da espessura quando todos os demais parâmetros são fixos.

Resposta

  1. \dfrac{d^2 T}{dx^2}=0.
  2. T(x)=T_1+\dfrac{T_2-T_1}{L}\,x.
  3. q''=k\dfrac{T_1-T_2}{L}=1890\\ \mathrm{W/m^2}.
  4. \dot{Q}=q''A=22\,680\\ \mathrm{W}.
  5. Ao dobrar L o fluxo por unidade de área fica metade: q''=945\\ \mathrm{W/m^2}, e \dot{Q}=11\,340\\ \mathrm{W}; em geral q''\propto1/L (resistência térmica dobra).

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