Exercício 9. Vapor \mathrm{a}=320^{\circ} \mathrm{C} escoa em um tubo fundido ( \mathrm{k}=80 \mathrm{~W} / \mathrm{m} . \mathrm{K} ) de 10 metros cujos diâmetros interno e externo são \mathrm{Di}=5 \mathrm{~cm} e \mathrm{De}=5,5 \mathrm{~cm}, respectivamente. O tubo apresenta um isolamento de lã de vidro ( \mathrm{k}=0,05 \mathrm{~W} / \mathrm{m} . \mathrm{K} ) de 2 cm no lado externo. A temperatura do lado externo é 5{ }^{\circ} \mathrm{C} e o coeficiente convectivo é 18 \mathrm{~W} / \mathrm{m} 2 . \mathrm{K}. O coeficiente convectivo do lado interno é igual a 160 \mathrm{~W} / \mathrm{m} 2 . \mathrm{K}.
a) Determine o coeficiente global de transferência de calor.
b) Determine a taxa de transferência de calor por unidade de comprimento.
c) Determine o raio crítico do isolante.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (todas as quantidades numéricas estão entre parênteses e foram copiadas do enunciado).
Dados:
  • Temperatura do vapor (interna): T_{\text{int}}=320^\circ\mathrm{C}.
  • Temperatura externa do ar: T_{\infty}=5^\circ\mathrm{C}.
  • Comprimento do tubo: L=10\\ \mathrm{m} (observação: como a questão pede taxa por unidade de comprimento, vamos trabalhar por metro e usar L=1\\ \mathrm{m} nas fórmulas por unidade de comprimento).
  • Diâmetro interno do tubo: \mathrm{Di}=5\\ \mathrm{cm}\Rightarrow r_i=\dfrac{\mathrm{Di}}{2}=0,025\\ \mathrm{m}.
  • Diâmetro externo do tubo (aço): \mathrm{De}=5{,}5\\ \mathrm{cm}\Rightarrow r_{p,o}=\dfrac{\mathrm{De}}{2}=0,0275\\ \mathrm{m}. (subíndice p,o = raio externo do tubo metálico)
  • Espessura do isolamento (lã de vidro): t_{\text{isol}}=2\\ \mathrm{cm}=0,02\\ \mathrm{m}. Assim o raio externo do isolante é r_o=r_{p,o}+0,02=0,0475\\ \mathrm{m}.
  • Condutividade térmica do tubo (aço): k_{\text{tubo}}=80\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}.
  • Condutividade térmica do isolante: k_{\text{isol}}=0{,}05\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}.
  • Coeficiente convectivo interno: h_i=160\\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)}.
  • Coeficiente convectivo externo: h_o=18\\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)}.
O enunciado pede:
a) Determinar o coeficiente global de transferência de calor (especificarei em qual área estou baseando esse coeficiente).
b) Determinar a taxa de transferência de calor por unidade de comprimento (isto é, \dot q' em \mathrm{W/m}).
c) Determinar o raio crítico do isolante.

Passo 2

Escolha da definição de coeficiente global U e estratégia de resolução.
  • Quando não é especificado, é comum definir o coeficiente global de transferência de calor U com base na área interna do tubo (área de referência A_i=2\pi r_i L). Vou adotar essa convenção: Q = U\,A_i\,\Delta T, onde Q é a taxa de calor total. Se preferir outra referência (por exemplo área externa), o procedimento é análogo com conversões de área.
  • Estratégia: modelar as resistências térmicas em série (convecção interna → condução radial através do tubo metálico → condução radial através do isolante → convecção externa). Trabalharei por unidade de comprimento ( L=1\\ \mathrm{m}), o que simplifica as áreas para A'=2\pi r (área por metro).
Vou agora apresentar as fórmulas que vou usar, explicando cada uma.

Passo 3

Resistência por convecção (conceito e fórmula).
  • Conceito: convecção na superfície com coeficiente h pode ser representada por uma resistência térmica \displaystyle R_{\text{conv}}=\dfrac{1}{hA}, onde A é a área de troca.
  • Para tratar por unidade de comprimento (isto é, para L=1\\ \mathrm{m}), a área lateral é A'=2\pi r (unidade \mathrm{m^2} por metro de comprimento).
  • Assim, as resistências convectivas por metro são: R_{ci}'=\frac{1}{h_i\,2\pi r_i},\qquad R_{co}'=\frac{1}{h_o\,2\pi r_o}.
  • Aqui R_{ci}' e R_{co}' têm unidade \mathrm{K\cdot m/W} (resistência por metro).

Passo 4

Resistência por condução radial em cilindro (derivação curta e fórmula).
  • Para condução radial estacionária em um cilindro de comprimento L, a equação integrando a lei de Fourier dá: q=\frac{T_1-T_2}{R_{\text{cond}}},\qquad R_{\text{cond}}=\frac{1}{2\pi k L}\ln\!\Big(\frac{r_2}{r_1}\Big).
  • Por unidade de comprimento ( L=1\\ \mathrm{m}) temos a resistência por metro: R_{\text{cond}}'=\frac{1}{2\pi k}\ln\!\Big(\frac{r_2}{r_1}\Big).
  • Usarei essa fórmula para o corpo do tubo (entre r_i e r_{p,o}) com k=k_{\text{tubo}} e para o isolante (entre r_{p,o} e r_o) com k=k_{\text{isol}}.

Passo 5

Escrevendo a resistência total por unidade de comprimento e relação com U.
  • Somando as resistências por metro em série: R'_{\text{tot}}=R_{ci}'+R_{\text{cond,tubo}}'+R_{\text{cond,isol}}'+R_{co}'.
  • A taxa de calor por unidade de comprimento é \dot q'=\frac{T_{\text{int}}-T_{\infty}}{R'_{\text{tot}}}.
  • O coeficiente global U com referência à área interna por unidade de comprimento A_i'=2\pi r_i é dado por U=\frac{\dot q'}{A_i'\,(T_{\text{int}}-T_{\infty})}=\frac{1}{R'_{\text{tot}}\,A_i'}.
Agora vou calcular numericamente cada resistência.

Passo 6

Cálculo numérico das resistências (mostrar contas passo a passo).
Primeiro valores dos raios (todos em \mathrm{m}):
r_i=0,025,\quad r_{p,o}=0,0275,\quad r_o=0,0475.
  1. Resistência convectiva interna por metro:
R_{ci}'=\frac{1}{h_i\,2\pi r_i} =\frac{1}{160\cdot 2\pi\cdot 0,025}.
Calcule 2\pi r_i=2\pi\cdot0,025=0,15707963.
Logo
R_{ci}'=\frac{1}{160\cdot 0,15707963}=\frac{1}{25,13274}=0,0397887\\ \mathrm{K\cdot m/W}.
  1. Resistência de condução no tubo (aço) por metro:
R_{\text{cond,tubo}}'=\frac{1}{2\pi k_{\text{tubo}}}\ln\!\Big(\frac{r_{p,o}}{r_i}\Big) =\frac{1}{2\pi\cdot 80}\ln\!\Big(\frac{0,0275}{0,025}\Big).
Calcule \ln(0,0275/0,025)=\ln(1,1)=0,09531018 e 2\pi\cdot80=502,65482.
Logo
R_{\text{cond,tubo}}'=\frac{0,09531018}{502,65482}=0,0001896\\ \mathrm{K\cdot m/W}.
  1. Resistência de condução no isolante por metro:
R_{\text{cond,isol}}'=\frac{1}{2\pi k_{\text{isol}}}\ln\!\Big(\frac{r_o}{r_{p,o}}\Big) =\frac{1}{2\pi\cdot 0,05}\ln\!\Big(\frac{0,0475}{0,0275}\Big).
Calcule \frac{0,0475}{0,0275}=1,7272727, \ln(1,7272727)=0,54654366, e 2\pi\cdot0,05=0,31415927.
Logo
R_{\text{cond,isol}}'=\frac{0,54654366}{0,31415927}=1,7406\\ \mathrm{K\cdot m/W}.
  1. Resistência convectiva externa por metro:
R_{co}'=\frac{1}{h_o\,2\pi r_o} =\frac{1}{18\cdot 2\pi\cdot 0,0475}.
Calcule 2\pi r_o=2\pi\cdot0,0475=0,29845133 e 18\cdot0,29845133=5,3721239.
Logo
R_{co}'=\frac{1}{5,3721239}=0,18617\\ \mathrm{K\cdot m/W}.

Passo 7

Somando resistências e obtendo R'_{\text{tot}}, U e \dot q'.
Somando:
R'_{\text{tot}}=0,0397887+0,0001896+1,7406+0,18617=1,96675\\ \mathrm{K\cdot m/W}.
Área interna por metro:
A_i'=2\pi r_i=0,15707963\\ \mathrm{m^2\\ per\\ m}.
Coeficiente global (referência área interna):
U=\frac{1}{R'_{\text{tot}}\,A_i'}=\frac{1}{1,96675\cdot 0,15707963}.
Calcule 1,96675\cdot 0,15707963=0,308996, portanto
U= \frac{1}{0,308996}=3,24\\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)}\\ \text{(aprox.)}.
Taxa de transferência de calor por unidade de comprimento:
\dot q'=\frac{T_{\text{int}}-T_{\infty}}{R'_{\text{tot}}} =\frac{320-5}{1,96675}=\frac{315}{1,96675}=160,2\\ \mathrm{W/m}\\ \text{(aprox.)}.
(Verificação rápida: \dot q' = U\,A_i'\,(T_{\text{int}}-T_{\infty}) dá o mesmo resultado numericamente.)

Passo 8

Raio crítico do isolante (conceito e cálculo).
  • Para um cilindro, o raio crítico do isolante r_{\text{cr}} é o raio externo do corpo que torna a transferência de calor máxima ao se adicionar uma camada infinitesimal de isolamento. A fórmula é r_{\text{cr}}=\frac{k_{\text{isol}}}{h_o}.
  • Substituindo: r_{\text{cr}}=\frac{0,05}{18}=0,00277778\\ \mathrm{m}=2,78\\ \mathrm{mm}.
Interpretação (curta): como o raio externo do tubo sem isolamento é r_{p,o}=0,0275\\ \mathrm{m}, que é muito maior que r_{\text{cr}}=0,00278\\ \mathrm{m}, a adição de isolante de 0,02\\ \mathrm{m} reduz a perda de calor (ou seja, a camada de isolante está no regime onde isolar é efetivo).

Resposta

(a) U\approx 3,24\\ \mathrm{W/(m^{2}\cdot K)} (baseada na área interna).
(b) \dot q'\approx 160,2\\ \mathrm{W/m}.
(c) r_{\text{cr}}=0,00278\\ \mathrm{m}\\ (\approx 2,78\\ \mathrm{mm}).

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