1. Uma parede de tijolos será usada como um dos lados de um curral retangular. Para os outros lados iremos usar 400 metros de tela de arame, de modo a produzir uma área máxima. Determine as dimensões desse curral.

Passo 1

O enunciado pede um curral retangular em que um dos lados é uma parede já construída e os três lados restantes são cercados com 400 m de tela de arame. Queremos achar as dimensões que tornam a área máxima. O conteúdo aqui é otimização de função de uma variável, usando derivada para encontrar máximo.

Passo 2

Definimos como x a medida (em metros) de cada um dos dois lados perpendiculares à parede e como y a medida do lado oposto à parede. A restrição do comprimento de tela é
2x + y = 400.

Passo 3

Isolando y em função de x, temos
y = 400 - 2x.
A área do curral é
A(x) = x \cdot y = x\,(400 - 2x) = 400x - 2x^2.

Passo 4

Para encontrar o máximo de A(x), calculamos a derivada:
A'(x) = 400 - 4x.
Igualando a zero para achar o ponto crítico,
400 - 4x = 0 \quad\Longrightarrow\quad x = 100.
Verificando a concavidade, A''(x) = -4 < 0, confirmando que x=100 é um máximo.

Passo 5

Substituindo x=100 em y = 400 - 2x, obtemos
y = 400 - 2\cdot100 = 200.
Portanto, para área máxima, cada lado perpendicular à parede mede 100 m e o lado paralelo à parede mede 200 m.

Resposta

O curral de área máxima tem profundidade de 100 m (os dois lados perpendiculares à parede) e largura de 200 m (o lado ao longo da parede).

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