Uma partícula de 0,500 \mathrm{~kg} se move ao longo de um eixo x de acordo com a equação x(t)=2,00 t+8,00 t^{2}-5,00 t^{3}, com x em metros e t em segundos. Determine a força que age sobre a partícula no instante \mathrm{t}=12 \mathrm{~s}.

Passo 1

O enunciado pede para determinar a força que age sobre a partícula no instante t=12\\ \mathrm{s}.
Informações fornecidas:
m=0,500\\ \mathrm{kg}
x(t)=2,00\,t+8,00\,t^{2}-5,00\,t^{3}\quad(\text{com }x\\ \text{em metros e }t\\ \text{em segundos})
Pergunta explícita: qual é a força \,F que atua na partícula em t=12\\ \mathrm{s}?

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicação didática):
  • Velocidade instantânea v(t) é a derivada da posição em relação ao tempo:
v(t)=\frac{dx}{dt}.
Isto significa: pegue cada termo de x(t) e aplique a regra do poder. Regra do poder (power rule): a derivada de t^{n} é n\,t^{n-1}. Exemplo rápido: a derivada de t^{3} é 3t^{2}.
  • Aceleração instantânea a(t) é a derivada da velocidade (ou segunda derivada da posição):
a(t)=\frac{dv}{dt}=\frac{d^{2}x}{dt^{2}}.
  • A segunda lei de Newton relaciona força e aceleração:
\vec{F}=m\vec{a}.
No eixo x isso fica F_x=m\,a_x. O sinal da força indica direção: força negativa significa direção negativa do eixo x.

Passo 3

Calcular a velocidade v(t)=\dfrac{dx}{dt}. Aplicando a regra do poder termo a termo a
x(t)=2,00\,t+8,00\,t^{2}-5,00\,t^{3},
temos:
\frac{d}{dt}(2,00\,t)=2,00,
\frac{d}{dt}(8,00\,t^{2})=2\cdot 8,00\,t=16,00\,t,
\frac{d}{dt}(-5,00\,t^{3})= -3\cdot 5,00\,t^{2}=-15,00\,t^{2}.
Somando os termos:
v(t)=2,00+16,00\,t-15,00\,t^{2}.

Passo 4

Calcular a aceleração a(t)=\dfrac{dv}{dt}. Derivando cada termo de v(t):
\frac{d}{dt}(2,00)=0,
\frac{d}{dt}(16,00\,t)=16,00,
\frac{d}{dt}(-15,00\,t^{2})=-30,00\,t.
Portanto:
a(t)=16,00-30,00\,t.

Passo 5

Avaliar a aceleração no instante t=12\\ \mathrm{s}. Substituindo t=12 em a(t):
a(12)=16,00-30,00\cdot 12.
Calcule passo a passo:
30,00\cdot 12=360,00,
a(12)=16,00-360,00=-344,00\\ \mathrm{m\,s^{-2}}.
Ou seja, a aceleração é -344,00\\ \mathrm{m\,s^{-2}} (o sinal negativo indica aceleração no sentido negativo do eixo x).

Passo 6

Aplicar a segunda lei de Newton F_x=m\,a_x. Multiplicamos a massa pela aceleração encontrada:
m=0,500\\ \mathrm{kg},\qquad a(12)=-344,00\\ \mathrm{m\,s^{-2}}.
Logo:
F(12)=0,500\cdot(-344,00).
Calcule:
0,500\cdot 344,00=172,00,
portanto
F(12)=-172,00\\ \mathrm{N}.
O sinal negativo indica que a força aponta para o lado negativo do eixo x. Em prova: siga sempre a sequência — derivar para achar v(t), derivar de novo para a(t), avaliar em t e usar F=ma.

Passo 7

Checagem rápida de consistência: unidades estão corretas (kg·m/s² = N) e o valor numérico foi calculado com as mesmas casas decimais apresentadas no enunciado. Se precisar apresentar com menos casas significativas, arredonde conforme instrução da prova, mas aqui mantemos a precisão dada.

Resposta

-172,00\\ \mathrm{N}

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