3 . Um objeto de 2,00 \mathrm{~kg} está sujeito a quatro forças, que the imprimem uma aceleração \mathbf{a}=4,00 \mathbf{i}+3,00 \mathbf{j}, no SI . As forças são dadas por \mathbf{F 1}=30,0 \mathbf{i}+16,0 \mathbf{j}, \mathbf{F 2}=12,0 \mathbf{i}+ 8,00 \mathrm{j}, \mathrm{F}_{3}=0,50 \mathrm{j} e F4, também no SI, determine o vetor F4 e seu módulo.

Passo 1

Enunciado e dados relevantes (o que o problema pede):
  • Massa do objeto: m=2,00\\ \mathrm{kg}.
  • Aceleração: \mathbf{a}=4,00\,\mathbf{i}+3,00\,\mathbf{j} (SI).
  • Forças conhecidas:
    \mathbf{F}_1=30,0\,\mathbf{i}+16,0\,\mathbf{j},
    \mathbf{F}_2=12,0\,\mathbf{i}+8,00\,\mathbf{j},
    \mathbf{F}_3=0,50\,\mathbf{j}.
  • Pedido: determinar o vetor \mathbf{F}_4 e o módulo |\mathbf{F}_4|.

Passo 2

Princípio físico e fórmula a usar:
  • Usamos a 2ª lei de Newton no formato vetorial:
\sum \mathbf{F} = m\mathbf{a},
onde \sum \mathbf{F} é a soma vetorial de todas as forças aplicadas, m é a massa e \mathbf{a} é a aceleração. Cada símbolo significa:
  • \sum \mathbf{F}: vetor resultante das forças (em newtons, \mathrm{N});
  • m: massa (em quilogramas, \mathrm{kg});
  • \mathbf{a}: aceleração (em \mathrm{m/s^2}).
  • Isolando \mathbf{F}_4, como ela é a única força desconhecida:
\mathbf{F}_4 = m\mathbf{a} - (\mathbf{F}_1 + \mathbf{F}_2 + \mathbf{F}_3).
Isso significa que calculamos primeiro m\mathbf{a}, depois subtraímos a soma vetorial das três forças conhecidas.

Passo 3

Cálculo de m\mathbf{a}:
  • Multiplicamos a massa pelas componentes da aceleração componente a componente:
m\mathbf{a} = 2{,}00\,(4{,}00\,\mathbf{i}+3{,}00\,\mathbf{j}) = (2{,}00\cdot4{,}00)\,\mathbf{i} + (2{,}00\cdot3{,}00)\,\mathbf{j}.
  • Fazendo as contas:
m\mathbf{a} = 8{,}00\,\mathbf{i} + 6{,}00\,\mathbf{j}\quad(\mathrm{N}).

Passo 4

Soma vetorial das forças conhecidas \mathbf{F}_1+\mathbf{F}_2+\mathbf{F}_3:
  • Somamos componente x das três forças:
F_{x,\text{total}} = 30{,}0 + 12{,}0 + 0 = 42{,}0\\ (\mathrm{N}).
(obs.: peguei os valores de \mathbf{F}_1 e \mathbf{F}_2 do enunciado; \mathbf{F}_3 não tem componente x).
  • Somamos componente y:
F_{y,\text{total}} = 16{,}0 + 8{,}00 + 0{,}50 = 24{,}50\\ (\mathrm{N}).
  • Logo
\mathbf{F}_1+\mathbf{F}_2+\mathbf{F}_3 = 42{,}0\,\mathbf{i} + 24{,}50\,\mathbf{j}.

Passo 5

Determinar \mathbf{F}_4 por subtração componente a componente:
\mathbf{F}_4 = m\mathbf{a} - (\mathbf{F}_1+\mathbf{F}_2+\mathbf{F}_3).
Substituindo os vetores:
\mathbf{F}_4 = (8{,}00\,\mathbf{i}+6{,}00\,\mathbf{j}) - (42{,}0\,\mathbf{i}+24{,}50\,\mathbf{j}).
Fazendo as subtrações em cada componente:
F_{4x} = 8{,}00 - 42{,}0 = -34{,}0\\ (\mathrm{N}),
F_{4y} = 6{,}00 - 24{,}50 = -18{,}50\\ (\mathrm{N}).
Portanto
\mathbf{F}_4 = -34{,}0\,\mathbf{i} - 18{,}50\,\mathbf{j}\quad(\mathrm{N}).

Passo 6

Cálculo do módulo |\mathbf{F}_4|:
  • Regra: o módulo de um vetor bidimensional \mathbf{F}_4=(F_{4x},F_{4y}) é dado por
|\mathbf{F}_4|=\sqrt{F_{4x}^{2}+F_{4y}^{2}},
onde F_{4x} e F_{4y} são as componentes do vetor.
  • Substituindo F_{4x}=-34{,}0 e F_{4y}=-18{,}50:
|\mathbf{F}_4|=\sqrt{(-34{,}0)^{2}+(-18{,}50)^{2}}=\sqrt{1156{,}00+342{,}25}=\sqrt{1498{,}25}.
  • Calculando a raiz quadrada (arredondando sensivelmente às mesmas cifras dos dados):
|\mathbf{F}_4|\approx 38{,}7\\ \mathrm{N}.
(Se quiser mais precisão, \sqrt{1498{,}25}\approx 38{,}713\\ \mathrm{N}.)

Resposta

\mathbf{F}_4 = -34{,}0\,\mathbf{i} - 18{,}50\,\mathbf{j}\\ \mathrm{N}\n
|\mathbf{F}_4| \approx 38{,}7\\ \mathrm{N}

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