- Uma partícula carregada entra em uma região contendo campos
e
ortogonais. A chamada velocidade de deriva de um plasma corresponde à velocidade
para a qual a partícula não sofre forças. Mostre que a velocidade de deriva é dada por
onde
e
é a direção de
.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
- Há campos elétrico e magnético dados por
e . O enunciado menciona que e são ortogonais. - Uma partícula carregada, com carga
, move-se com velocidade dentro dessa região. - A “velocidade de deriva” é a velocidade
para a qual a partícula NÃO sofre forças (i.e. a força total sobre ela é nula). - Define-se
como a direção de (ou seja ) e como a componente de paralela a .
O que precisamos mostrar:
onde
.
Passo 2
Escrevendo a expressão da força que age sobre a partícula (força de Lorentz) e impondo que ela seja zero.
- A força de Lorentz sobre uma partícula com carga
e velocidade é
- A condição de “não sofrer forças” é
. Como não é zero (caso contrário não seria partícula carregada) podemos dividir por e obter a equação vetorial
Passo 3
Isolar
da equação vetorial. Usamos uma operação vetorial útil: cruzar ambos os lados pela mesma direção
. Cruzo a equação
com
:
(Aqui usamos que
não é o vetor nulo, caso contrário a definição de direção
e o termo
não fariam sentido.)
Passo 4
Aplicar a identidade do produto vetorial triplo para simplificar
.
- A identidade do produto vetorial triplo é, para vetores
:
- Aplicando com
, , obtemos
- Substituindo isso na equação do passo anterior:
Passo 5
Isolar
explicitamente.
- Reescrevendo
e rearranjando:
- Observação:
(propriedade anticomutativa do produto vetorial), então
- Dividindo por
:
Passo 6
Identificar a componente paralela e escrever na forma pedida.
- Defina a direção unitária de
por . - A componente de
paralela a pode ser escrita como
- Então
- Substituindo isso em
do passo anterior obtemos exatamente
Passo 7
Interpretação curta e física (para fixar a ideia):
- A primeira parcela
é a componente de deriva perpendicular a (normalmente chamada de deriva ), e ela é única e independente de e da massa da partícula. - A segunda parcela
é a componente arbitrária paralela a : como o termo magnético não age ao longo de , qualquer componente de velocidade paralela não produz força magnética, de modo que essa componente não é determinada pela condição .