1. Uma partícula carregada entra em uma região contendo campos \vec{E} e \vec{B} ortogonais. A chamada velocidade de deriva de um plasma corresponde à velocidade \vec{v} para a qual a partícula não sofre forças. Mostre que a velocidade de deriva é dada por
\vec{v}=\frac{\vec{E} \times \vec{B}}{B^{2}}+v_{\|} \hat{n}
onde v_{\|}=(\vec{v} \cdot \hat{n}) e \hat{n} é a direção de \vec{B}.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
  • Há campos elétrico e magnético dados por \vec{E} e \vec{B}. O enunciado menciona que \vec{E} e \vec{B} são ortogonais.
  • Uma partícula carregada, com carga q, move-se com velocidade \vec{v} dentro dessa região.
  • A “velocidade de deriva” é a velocidade \vec{v} para a qual a partícula NÃO sofre forças (i.e. a força total sobre ela é nula).
  • Define-se \hat{n} como a direção de \vec{B} (ou seja \hat{n}=\vec{B}/|\vec{B}|) e v_{\|}=(\vec{v}\cdot\hat{n}) como a componente de \vec{v} paralela a \vec{B}.
O que precisamos mostrar:
\vec{v}=\frac{\vec{E}\times\vec{B}}{B^{2}}+v_{\|}\,\hat{n},
onde B^{2}=\vec{B}\cdot\vec{B}=|\vec{B}|^{2}.

Passo 2

Escrevendo a expressão da força que age sobre a partícula (força de Lorentz) e impondo que ela seja zero.
  • A força de Lorentz sobre uma partícula com carga q e velocidade \vec{v} é
\vec{F}=q\bigl(\vec{E}+\vec{v}\times\vec{B}\bigr).
  • A condição de “não sofrer forças” é \vec{F}=\vec{0}. Como q não é zero (caso contrário não seria partícula carregada) podemos dividir por q e obter a equação vetorial
\vec{E}+\vec{v}\times\vec{B}=\vec{0}.

Passo 3

Isolar \vec{v} da equação vetorial. Usamos uma operação vetorial útil: cruzar ambos os lados pela mesma direção \vec{B}. Cruzo a equação \vec{E}+\vec{v}\times\vec{B}=\vec{0} com \vec{B}:
\vec{B}\times\vec{E}+\vec{B}\times(\vec{v}\times\vec{B})=\vec{0}.
(Aqui usamos que \vec{B} não é o vetor nulo, caso contrário a definição de direção \hat{n} e o termo B^{2} não fariam sentido.)

Passo 4

Aplicar a identidade do produto vetorial triplo para simplificar \vec{B}\times(\vec{v}\times\vec{B}).
  • A identidade do produto vetorial triplo é, para vetores \vec{a},\vec{b},\vec{c}:
\vec{a}\times(\vec{b}\times\vec{c})=\vec{b}(\vec{a}\cdot\vec{c})-\vec{c}(\vec{a}\cdot\vec{b}).
  • Aplicando com \vec{a}=\vec{B}, \vec{b}=\vec{v}, \vec{c}=\vec{B} obtemos
\vec{B}\times(\vec{v}\times\vec{B})=\vec{v}(\vec{B}\cdot\vec{B})-\vec{B}(\vec{v}\cdot\vec{B}).
  • Substituindo isso na equação do passo anterior:
\vec{B}\times\vec{E}+\vec{v}(\vec{B}\cdot\vec{B})-\vec{B}(\vec{v}\cdot\vec{B})=\vec{0}.

Passo 5

Isolar \vec{v} explicitamente.
  • Reescrevendo \vec{B}\cdot\vec{B}=B^{2} e rearranjando:
\vec{v}\,B^{2}=\,-\bigl(\vec{B}\times\vec{E}\bigr)+\vec{B}\,(\vec{v}\cdot\vec{B}).
  • Observação: -(\vec{B}\times\vec{E})=\vec{E}\times\vec{B} (propriedade anticomutativa do produto vetorial), então
\vec{v}\,B^{2}=\vec{E}\times\vec{B}+\vec{B}\,(\vec{v}\cdot\vec{B}).
  • Dividindo por B^{2}:
\vec{v}=\frac{\vec{E}\times\vec{B}}{B^{2}}+\frac{\vec{B}}{B^{2}}\,(\vec{v}\cdot\vec{B}).

Passo 6

Identificar a componente paralela e escrever na forma pedida.
  • Defina a direção unitária de \vec{B} por \hat{n}=\dfrac{\vec{B}}{|\vec{B}|}=\dfrac{\vec{B}}{B}.
  • A componente de \vec{v} paralela a \vec{B} pode ser escrita como
v_{\|}=(\vec{v}\cdot\hat{n})=\frac{\vec{v}\cdot\vec{B}}{B}.
  • Então \dfrac{\vec{B}}{B^{2}}(\vec{v}\cdot\vec{B})=\dfrac{\vec{B}}{B}\,\dfrac{\vec{v}\cdot\vec{B}}{B}=v_{\|}\,\hat{n}.
  • Substituindo isso em \vec{v} do passo anterior obtemos exatamente
\vec{v}=\frac{\vec{E}\times\vec{B}}{B^{2}}+v_{\|}\,\hat{n}.

Passo 7

Interpretação curta e física (para fixar a ideia):
  • A primeira parcela \dfrac{\vec{E}\times\vec{B}}{B^{2}} é a componente de deriva perpendicular a \vec{B} (normalmente chamada de deriva \vec{E}\times\vec{B}), e ela é única e independente de q e da massa da partícula.
  • A segunda parcela v_{\|}\,\hat{n} é a componente arbitrária paralela a \vec{B}: como o termo magnético \vec{v}\times\vec{B} não age ao longo de \vec{B}, qualquer componente de velocidade paralela não produz força magnética, de modo que essa componente não é determinada pela condição \vec{F}=\vec{0}.

Resposta

\vec{v}=\frac{\vec{E}\times\vec{B}}{B^{2}}+v_{\|}\,\hat{n}

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