- Demonstre as seguintes identidades vetoriais:
(a)
, para qualquer função escalar
. (Dica: use
no teorema de Stokes, onde
é um vetor constante.)
Passo 1
O enunciado pede para demonstrar a identidade vetorial
válida para qualquer função escalar
. Foi dada a dica de usar
, onde
é um vetor constante.
Informações relevantes fornecidas:
-
é uma função escalar suficientemente suave (diferenciável) definida na superfície considerada. -
é um vetor constante (independe de posição). - A integral à esquerda é uma integral de superfície (sobre
) do vetor . - A integral à direita é a integral de linha ao longo da fronteira
(orientada segundo a regra da mão direita compatível com ) do vetor .
Passo 2
Lembrando o Teorema de Stokes (forma de superfície-linha): para qualquer campo vetorial
suficientemente regular vale
Explicando cada termo:
-
é o rotacional (curl) do campo . -
é o elemento vetorial de área da superfície , com direção normal à superfície dada pela orientação escolhida. - O produto escalar
dá um escalar que se integra sobre . -
é a integral de linha de ao longo da curva de contorno , com orientação consistente com a escolha de (regra da mão direita).
Também precisamos da regra do rotacional para produto de escalar por vetor:
onde
é escalar e
é vetorial. Se
é constante, então
e portanto
Passo 3
Aplicar o Teorema de Stokes ao campo
(a dica do enunciado). Pela fórmula de Stokes:
Pelo produto regra para o rotacional com
constante temos
Substituindo na igualdade de Stokes:
A integral de linha no lado direito pode ser reescrita como produto escalar do vetor constante
com a integral de
:
Portanto obtemos
Passo 4
Manipular o lado esquerdo usando a identidade do produto escalar com produto vetorial (produto misto). A identidade ciclíca do produto misto diz que, para vetores
,
Escolhendo
,
e reescrevendo, ou mais diretamente aplicando a ciclicidade com
,
,
, obtemos
Mas
(trocar ordem no produto vetorial muda o sinal). Assim
Integrando sobre
,
Passo 5
Juntando o resultado do Passo 3 com o do Passo 4 obtemos
Rearranjando:
Passo 6
O vetor
foi arbitrário (qualquer vetor constante). Se o produto escalar de
com um vetor
é zero para todo vetor
, isto implica que
. Aplicando isso ao parêntesis anterior, concluímos que o vetor dentro do parêntesis é o vetor nulo. Portanto
Isto dá justamente a identidade desejada:
Passo 7
Comentário sobre orientações (importante na prova): a orientação da curva
usada na integral de linha deve ser a orientação induzida pela normal
segundo a regra da mão direita (ou seja, a orientação padrão do Teorema de Stokes). A demonstração acima presumiu essa orientação consistente; se a orientação fosse trocada apareceria um sinal negativo a mais.