1. Demonstre as seguintes identidades vetoriais:
(a) \int \nabla f \times d \vec{a}=-\oint f d \ell, para qualquer função escalar f. (Dica: use \vec{v}=\vec{c} f no teorema de Stokes, onde \vec{c} é um vetor constante.)

Passo 1

O enunciado pede para demonstrar a identidade vetorial
\int \nabla f \times d\vec{a} = -\oint f\, d\vec{\ell},
válida para qualquer função escalar f. Foi dada a dica de usar \vec{v}=\vec{c}\,f, onde \vec{c} é um vetor constante.
Informações relevantes fornecidas:
  • f é uma função escalar suficientemente suave (diferenciável) definida na superfície S considerada.
  • \vec{c} é um vetor constante (independe de posição).
  • A integral à esquerda é uma integral de superfície (sobre S) do vetor \nabla f \times d\vec{a}.
  • A integral à direita é a integral de linha ao longo da fronteira \partial S (orientada segundo a regra da mão direita compatível com d\vec{a}) do vetor f\,d\vec{\ell}.

Passo 2

Lembrando o Teorema de Stokes (forma de superfície-linha): para qualquer campo vetorial \vec{v} suficientemente regular vale
\int_S (\nabla\times\vec{v})\cdot d\vec{a} = \oint_{\partial S} \vec{v}\cdot d\vec{\ell}.
Explicando cada termo:
  • \nabla\times\vec{v} é o rotacional (curl) do campo \vec{v}.
  • d\vec{a} é o elemento vetorial de área da superfície S, com direção normal à superfície dada pela orientação escolhida.
  • O produto escalar (\nabla\times\vec{v})\cdot d\vec{a} dá um escalar que se integra sobre S.
  • \oint_{\partial S} \vec{v}\cdot d\vec{\ell} é a integral de linha de \vec{v} ao longo da curva de contorno \partial S, com orientação consistente com a escolha de d\vec{a} (regra da mão direita).
Também precisamos da regra do rotacional para produto de escalar por vetor:
\nabla\times(\varphi\vec{A}) = \nabla\varphi \times \vec{A} + \varphi\,(\nabla\times\vec{A}),
onde \varphi é escalar e \vec{A} é vetorial. Se \vec{A} é constante, então \nabla\times\vec{A}=\vec{0} e portanto
\nabla\times(\varphi\vec{A}) = \nabla\varphi \times \vec{A}.

Passo 3

Aplicar o Teorema de Stokes ao campo \vec{v}=\vec{c}\,f (a dica do enunciado). Pela fórmula de Stokes:
\int_S \big(\nabla\times(\vec{c}\,f)\big)\cdot d\vec{a} = \oint_{\partial S} (\vec{c}\,f)\cdot d\vec{\ell}.
Pelo produto regra para o rotacional com \vec{c} constante temos
\nabla\times(\vec{c}\,f) = \nabla f \times \vec{c}.
Substituindo na igualdade de Stokes:
\int_S (\nabla f \times \vec{c})\cdot d\vec{a} = \oint_{\partial S} f\,(\vec{c}\cdot d\vec{\ell}).
A integral de linha no lado direito pode ser reescrita como produto escalar do vetor constante \vec{c} com a integral de f\,d\vec{\ell}:
\oint_{\partial S} f\,(\vec{c}\cdot d\vec{\ell}) = \vec{c}\cdot\oint_{\partial S} f\,d\vec{\ell}.
Portanto obtemos
\int_S (\nabla f \times \vec{c})\cdot d\vec{a} = \vec{c}\cdot\oint_{\partial S} f\,d\vec{\ell}.

Passo 4

Manipular o lado esquerdo usando a identidade do produto escalar com produto vetorial (produto misto). A identidade ciclíca do produto misto diz que, para vetores \vec{a},\vec{b},\vec{c},
\vec{a}\cdot(\vec{b}\times\vec{c}) = \vec{b}\cdot(\vec{c}\times\vec{a}) = \vec{c}\cdot(\vec{a}\times\vec{b}).
Escolhendo \vec{a}=(\nabla f \times \vec{c}), \vec{b}=d\vec{a} e reescrevendo, ou mais diretamente aplicando a ciclicidade com \vec{a}=\nabla f, \vec{b}=\vec{c}, \vec{c}=d\vec{a}, obtemos
(\nabla f \times \vec{c})\cdot d\vec{a} = \vec{c}\cdot(d\vec{a}\times \nabla f).
Mas d\vec{a}\times \nabla f = -(\nabla f \times d\vec{a}) (trocar ordem no produto vetorial muda o sinal). Assim
(\nabla f \times \vec{c})\cdot d\vec{a} = -\vec{c}\cdot(\nabla f \times d\vec{a}).
Integrando sobre S,
\int_S (\nabla f \times \vec{c})\cdot d\vec{a} = -\vec{c}\cdot\int_S (\nabla f \times d\vec{a}).

Passo 5

Juntando o resultado do Passo 3 com o do Passo 4 obtemos
-\,\vec{c}\cdot\int_S (\nabla f \times d\vec{a}) \;=\; \vec{c}\cdot\oint_{\partial S} f\,d\vec{\ell}.
Rearranjando:
\vec{c}\cdot\left(\oint_{\partial S} f\,d\vec{\ell} + \int_S (\nabla f \times d\vec{a})\right) = 0.

Passo 6

O vetor \vec{c} foi arbitrário (qualquer vetor constante). Se o produto escalar de \vec{c} com um vetor \vec{W} é zero para todo vetor \vec{c}, isto implica que \vec{W}=\vec{0}. Aplicando isso ao parêntesis anterior, concluímos que o vetor dentro do parêntesis é o vetor nulo. Portanto
\oint_{\partial S} f\,d\vec{\ell} + \int_S (\nabla f \times d\vec{a}) = \vec{0}.
Isto dá justamente a identidade desejada:
\int_S \nabla f \times d\vec{a} = -\oint_{\partial S} f\,d\vec{\ell}.

Passo 7

Comentário sobre orientações (importante na prova): a orientação da curva \partial S usada na integral de linha deve ser a orientação induzida pela normal d\vec{a} segundo a regra da mão direita (ou seja, a orientação padrão do Teorema de Stokes). A demonstração acima presumiu essa orientação consistente; se a orientação fosse trocada apareceria um sinal negativo a mais.

Resposta

\displaystyle \int \nabla f \times d\vec{a} = -\oint f\, d\vec{\ell}

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